定理 1.2. (实二次型化为标准形)

设 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)={\mathbf{X}}^{\mathrm{T}}\mathbf{AX}$ 为实二次型, 则可作一个非退化的线性替换

$$\{\begin{array}{c}{x}_1=c_{11}{y}_1+c_{12}{y}_2+\cdots +c_{1n}{y}_n\\ x_2=c_{21}{y}_1+c_{22}{y}_2+\cdots +c_{2n}{y}_n\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ x_n=c_{n1}{y}_1+c_{n2}{y}_2+\cdots +c_{nn}{y}_n\end{array}$$

其中

$$\mathbf{C}=\left(\begin{array}{cccc}{c}_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1n}\\ c_{21}& c_{22}& \cdots & c_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ c_{n1}& c_{n2}& \cdots & c_{nn}\end{array}\right)$$

为正交矩阵, 把 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 化成标准形 ${\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2$这里 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 都是 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 的矩阵 $\mathbf{A}$ 的特征值.