定理 2.1. (正定二次型的等价条件)

设有 $n$ 元实二次型 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)={\mathbf{X}}^{\mathrm{T}}\mathbf{AX}$, 则下列命题等价:

1. $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 为正定二次型;
2. $\mathbf{A}$ 的所有特征值都是正实数;
3. $\mathbf{A}$ 的秩和正惯性指数都是 $n$ ;
4. $\mathbf{A}$ 与单位矩阵 $\mathbf{E}$ 合同;
5. 存在可逆矩阵 $\mathbf{P}$, 使得 $\mathbf{A}={\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}$.

证明

$\left(1\right)\Rightarrow \left(2\right)$.

由 定理 1.2. (实二次型化为标准形), 存在正交变换 $\mathbf{X}=\mathbf{PY}$, 使得 $f(x_1,x_2,\cdots$, $x_n)$ 变为

$$f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)=g\left(y_1,y_2,\cdots ,y_n\right)={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2,$$

其中 ${\lambda }_i\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 为 $\mathbf{A}$ 的特征值. 因为 $f$ 是正定二次型, 由 性质 2.1 非退化线性替换保正定 知 $g\left(y_1,y_2,\cdots ,y_n\right)$ 也是正定二次型, 则所有的 ${\lambda }_i>0$. 事实上, 若存在某 ${\lambda }_i\le 0$, 不妨设 ${\lambda }_1\le 0$, 我们取 $\left(y_1,y_2,\cdots ,y_n\right)=\left(1,0,\cdots ,0\right)$ 代入上式,得到 $g\left(1,0,\cdots ,0\right)\le$ 0,这与 $g\left(y_1,y_2,\cdots ,y_n\right)$ 正定矛盾.

$\left(2\right)\Rightarrow \left(3\right)$.

由 定理 1.6 (惯性定理) 知, 正惯性指数 $p=n=r\left(\mathbf{A}\right)$.

$\left(3\right)\Rightarrow \left(4\right)$.

若正惯性指数 $p=n=r\left(\mathbf{A}\right)$, 则 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)={\mathbf{X}}^{\mathrm{T}}\mathbf{AX}$ 的规范形为

$$z_1^2+z_2^2+\cdots +z_n^2$$

即存在可逆矩阵 $\mathbf{C}$, 使得 ${\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}\mathbf{AC}=\mathbf{E}$, 这也就是说 $\mathbf{A}$ 与单位矩阵 $\mathbf{E}$ 合同.

$\left(4\right)\Rightarrow \left(5\right)$.

若 $\mathbf{A}$ 与单位矩阵 $\mathbf{E}$ 合同, 即有可逆矩阵 $\mathbf{C}$, 使得 ${\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}\mathbf{AC}=\mathbf{E}$, 故 $\mathbf{A}={\left({\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}\right)}^{-1}{\mathbf{C}}^{-1}={\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}$, 其中 $\mathbf{P}={\mathbf{C}}^{-1}$ 也可逆.

$\left(5\right)\Rightarrow \left(1\right)$.

由于 $\mathbf{P}$ 可逆, $\mathbf{A}={\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}$, 故对任意的 $\mathbf{X}={\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)}^{\mathrm{T}}\ne 0$ 有 $\mathbf{PX}\ne 0$. 记 $\mathbf{Y}=\mathbf{PX}={\left(y_1,y_2,\cdots ,y_n\right)}^{\mathrm{T}}\ne 0$, 这样

$$\begin{array}{rl}f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)& ={\mathbf{X}}^{\mathrm{T}}\mathbf{AX}\\ & ={\mathbf{X}}^{\mathrm{T}}\left({\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\right)\mathbf{X}\\ & ={\left(\mathbf{PX}\right)}^{\mathrm{T}}\left(\mathbf{PX}\right)\\ & ={\mathbf{Y}}^{\mathrm{T}}\mathbf{Y}\\ & =y_1^2+y_2^2+\cdots +y_n^2>0.\end{array}$$

故 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 是正定二次型.