例题 2.1 (欧式空间的标准基)

在 ${\mathbb{R}}^n$ 中,我们已经知道

$${\epsilon }_1=\left(1,0,\cdots ,0\right)$$ $${\epsilon }_2=\left(0,1,\cdots ,0\right)$$

…

$${\epsilon }_n=\left(0,0,\cdots ,1\right)$$

线性无关, 且任意一个向量 $\alpha =\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)$ 都有

$$\alpha =a_1{\epsilon }_1+a_2{\epsilon }_2+\cdots +a_n{\epsilon }_n$$

所以, ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_n$ 是一组基,且 $\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)$ 就是 $\alpha$ 在这组基下的坐标.

再比如, 若取

$${\eta }_1=\left(1,1,\cdots ,1\right)$$ $${\eta }_2=\left(0,1,\cdots ,1\right)$$ $$\dots$$ $${\eta }_n=\left(0,0,\cdots ,1\right)$$

易证它们线性无关, 对任意向量 $\alpha =\left(a_1,a_2,\cdots ,a_n\right)$ 有

$$\alpha =a_1{\eta }_1+\left(a_2-a_1\right){\eta }_2+\cdots +\left(a_n-a_{n-1}\right){\eta }_n.$$

所以 ${\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_n$ 是一组基, 且 $\left(a_1,a_2-a_1,\cdots ,a_n-a_{n-1}\right)$ 就是 $\alpha$ 在基 ${\eta }_1$, ${\eta }_2,\cdots ,{\eta }_n$ 下的坐标.