2. 维数、基与坐标

在 ${\mathbb{R}}^3$ 中,线性无关的向量最多有 3 个,而任意 4 个向量一定共面,即线性相关; 在 $F^n$ 中,有 $n$ 个线性无关的向量,比如 $n$ 维单位向量 ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2,\cdots ,{\epsilon }_n$,而任意 $n+1$ 个向量一定是线性相关的. 我们自然想到,在一个数域 $F$ 上的线性空间 $V$ 中线性无关的向量有几个. 为此,我们给出定义.

定义 2.4. (基 维数)

在线性空间 $V$ 中,若有 $n$ 个向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$,满足

1. ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性无关;
2. $V$ 中任意一个向量 $\alpha$ 都可以被 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性表出, 则称 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 是线性空间 $V$ 的一组基, $V$ 就称为是 $n$ 维的线性空间或 $V$ 的维数是 $n$, 记为 $\dim \left(V\right)=n$. 如果在 $V$ 中可以找到任意多个线性无关的向量, 那么 $V$ 就称为是无限维的线性空间. 规定零空间的维数是 0.

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由定义知, $\dim \left({\mathbb{R}}^3\right)=3$, $\dim \left(F^n\right)=n$. 实数域 $\mathbb{R}$ 上的一元多项式的全体构成的实线性空间是无限维的, 因为对于任意的 $n$, 都可以找到 $n$ 个线性无关的向量 $1,x,x^2,\cdots ,x^{n-1}$. 又比如 $n$ 元齐次线性方程组 $\mathbf{AX}=0$ 的解空间的维数为 $n-r\left(\mathbf{A}\right)$, 解空间的基为该齐次线性方程组的任意一个基础解系.

定义 (坐标)

今设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 的一组基, $\alpha$ 为 $V$ 中的一个向量, 则 $\alpha$ 可表示成 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 的线性组合,即

$$\alpha =x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+\cdots +x_n{\alpha }_n\text{\hspace{1em}(2.1)}$$

且表示唯一,即 $x_i$ 由 $\alpha$ 和基 ${\alpha }_i$ 唯一确定. 此时我们把 $F^n$ 中的向量 $(x_1,x_2,\cdots$, $x_n)$ 称为 $\alpha$ 在基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 下的坐标.

式子 (2.1) 可以形式地表示为

$$\alpha =\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$$Link to original

若此时向量 $\beta$ 在基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 下有坐标 $\left(y_1,y_2,\cdots ,y_n\right)$,那么易知 $\alpha +\beta$ 在此基下的坐标为

$$\left(x_1+y_1,x_2+y_2,\cdots ,x_n+y_n\right)$$

$k\alpha$ 的坐标为

$$\left(k{x}_1,k{x}_2,\cdots ,k{x}_n\right)\text{.}$$

于是, 利用基和坐标可把线性空间的运算变得更具体.

例题 2.1 (欧式空间的标准基)

例题 2.2. (2阶实矩阵)

此例题的结果不难推广到一般的空间 $M_{mn}\left(\mathbb{R}\right)$.