题型 4. 利用分布求概率

1.7

设二维随机变量 $\left(X,Y\right)$ 的概率密度为

$$f\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}6x,& 0\le x\le y\le 1\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$$

图 3-1.7

则 $P\{X+Y\le 1\}=$ _____.

解

由题意作图 3-1.7 所示

$$\begin{array}{rl}P\{X+Y\le 1\}& ={\iint }_{x+y\le 1}f(x,y)dxdy\\ & ={\int }_0^{\frac{1}{2}}{\int }_x^{1-x}6xdydx\\ & ={\int }_0^{\frac{1}{2}}6x(1-2x)dx\\ & =\frac{1}{4}.\end{array}$$

点评

利用 $\left(X,Y\right)$ 的联合密度 $f\left(x,y\right)$ 求 $P\{\left(X,Y\right)\in G\}$ 属于基本题型,其中 $P\{\left(X,Y\right)\in$ $G\}={\iint }_{G}f\left(x,y\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 计算二重积分时,应找出 $G$ 与 $f\left(x,y\right)$ 的非零区域的公共部分 $D$,然后在 $D$ 上积分.

1.8

设随机变量 $\left(X,Y\right)$ 的分布函数为

$$F\left(x,y\right)=\{\begin{array}{ll}1-2^{-x}-2^{-y}+2^{-x-y},& x\ge 0,y\ge 0\\ 0,& \text{ 其他. }\end{array}$$

求 $P\{1<X\le 2,3<Y\le 5\}$.

解

$P\{1<X\le 2,3<Y\le 5\}=F\left(2,5\right)-F\left(1,5\right)-F\left(2,3\right)+F\left(1,3\right)=\frac{3}{128}$.

1.9

设 $\left(X,Y\right)$ 的分布律为

$YX$	1	2	3
0	0.1	0.1	0.3
1	0.25	0	0.25

求: (1) $P\{X=0\}$; (2) $P\{Y\le 2\}$; (3) $P\{X<1,Y\le 2\}$; (4) $P\{X+Y=2\}$.

分析

利用联合分布律求概率公式为

$$P\{\left(X,Y\right)\in G\}=\sum _{\left(x_i,y_j\right)\in G}{p}_{ij}.$$

解

(1)

$$\begin{array}{rl}P\{X=0\}& =P\{X=0,Y=1\}+P\{X=0,Y=2\}+P\{X=0,Y=3\}\\ & =0.1+0.1+0.3=\mathrm{0.5.}\end{array}$$

(2)

$$\begin{array}{rl}P\{Y\le 2\}& =P\{X=0,Y=1\}+P\{X=0,Y=2\}+P\{X=1,Y=1\}+P\{X=1,Y=2\}\\ & =0.1+0.1+0.25+0=\mathrm{0.45.}\end{array}$$

(3)

$$\begin{array}{rl}P\{X<1,Y\le 2\}& =P\{X=0,Y=1\}+P\{X=0,Y=2\}\\ & =0.1+0.1=\mathrm{0.2.}\end{array}$$

(4)

$$\begin{array}{rl}P\{X+Y=2\}& =P\{X=0,Y=2\}+P\{X=1,Y=1\}\\ & =0.1+0.25=\mathrm{0.35.}\end{array}$$