例 1.3.8 (有放回抽取产品的事件概率)

某批产品的不合格品率为 $p$. 现从该批产品中有放回地任意抽取 5 次, 每次取 1 件. 试求以下事件的概率.

1. $A=\{$ 前两次抽得合格品后三次抽得不合格品 $\}$.
2. $B=\{$ 抽得产品中恰有两件不合格品 $\}$.
3. $C=\{$ 抽得产品中至少有 1 件不合格品 $\}$.

解

由于试验是有放回抽取, 所以前面抽取的结果不影响后面的抽取. 所以 5 次抽取相互独立, 5 次抽取可以认为是 5 次独立的伯努利试验. 记 $A_i=\{$ 第 $i$ 次抽取得不合格品 }, 则

$$P\left(A_i\right)=p,P\left(\overline{A_i}\right)=1-p,i=1,2,\cdots ,5.$$

1

由试验的独立性有

$$P\left(A\right)=P\left(A_1{A}_2\overline{A_3}\overline{A_4}\overline{A_5}\right)=p^3\cdot {\left(1-p\right)}^2.$$

2

由于两只不合格品出现在 5 次抽取中的哪两次, 共有 $\left(\begin{array}{l}5\\ 2\end{array}\right)$ 种情况, 每种情况出现的概率相同, 所以

$$P\left(B\right)=\left(\begin{array}{l}5\\ 2\end{array}\right)\cdot p^2\cdot {\left(1-p\right)}^3.$$

3

由于 {抽得产品中至少有 1 不合格品球} 的对立事件是 {5 次都取得合格品}, 所以

$$P\left(C\right)=1-P\left(5\text{ 次都取得合格品 }\right)=1-{\left(1-p\right)}^5.$$