概率测度

概率测度是从我们日常生活中称重和量长度等度量方法抽象出来的. 比如, 两个西瓜的总重量等于各西瓜重量的和, 两个不重叠的线段的总长度等于各线段长度之和. 而称重的度量单位有千克, 磅等, 量长度的单位有米, 英尺等. 而概率测度则是事件域 $\mathcal{F}$ 中事件的一种度量, 一个事件在该度量下的大小, 代表该事件发生的可能性的大小.

定义 1.2.5 (概率测度)

设 $\Omega$ 是随机试验的基本事件空间, $P\left(\cdot \right)$ 为定义在事件域 $\mathcal{F}$ 到实数集 $\mathbf{R}$ 的映射, 满足:

1. 非负性 对任一事件 $A\in \mathcal{F}$, 有 $P(A)\ge 0.$.
2. 规范性 $P(\Omega )=1.$
3. 可列可加性 若事件 $A_1,A_2,\dots$, 且两两互不相容,则

$$P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }{A}_i\right)=\sum _{i=1}^{\infty }P\left(A_i\right)$$

则称 $P$ 为事件域 $\mathcal{F}$ 上的概率测度, 而称 $P\left(A\right)$ 为事件 $A$ 的概率.

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显然, 前面给出的概率的古典定义和几何定义, 都满足定义 1.2.5 中的 (1) $\sim$ (3), 从而都是概率测度.

通常,针对研究的某一随机现象,都要先确定基本事件空间 $\Omega$, 事件域 $\mathcal{F}$ 和概率测度 $P$, 将三者作为一个整体, 我们称 $\left(\Omega ,\mathcal{F},P\right)$ 为概率空间, 概率论的所有研究都是在这个空间上进行的.