例 2.2.3 (鱼塘中有多少条鱼)

为了估计鱼塘中有多少条鱼, 鱼塘主先从鱼塘中网起 100 条鱼做上记号后, 放回鱼塘中. 过了一段时间 (使有记号的鱼和无记号的鱼混合均匀) 后, 从鱼塘中网起一网鱼, 共 80 条, 其中有记号的鱼有两余. 试估计鱼塘中有多少条鱼.

解

设鱼塘中有 $N$ 条鱼, 则从中捞起一条鱼, 它有记号的概率为 $\frac{100}{100}$. 由于国塘中鱼的数量较大, 可以近似地认为, 一网捞出 80 条与有放回地捞取 80 条的试验条件相同. 所以, 捞出的 80 条鱼中有记号的个数近似服从 $B\left(80,\frac{100}{N}\right)$.

按照人们的生活体验, 小概率事件在一次试验中几乎不发生 (这是用概率论子科分析研究实际问题的基本思想之一), 亦即,

若一次试验中事件 $A$ 发生了, 则 $A$ 发生的可能性较大, 甚至认为 $A$ 发生的可能性最大.

基于这种理念可以认为 80 条中 2 条有记号的可能性最大. 而由 定理 2.2.1 (伯努利分布的最大概率) 的结论, $\left(80+1\right)\times \frac{100}{N}$ 发生的可能性最大. 所以令

$$\left(80+1\right)\times \frac{100}{N}=2,$$

得 $N=4050$.