例 2.4.2 (连续随机变量的变换后的分布密度函数)

设 $X \sim N (0, 1)$ , 试求 $Y = X^{2}$ 的分布密度函数.

解

我们先求 $Y = X^{2}$ 的分布函数 $F_{Y}$ . 显然, 对 $y < 0$ 有 $P (X^{2} \leq y) = 0$ . 对 $y \geq 0$ , 有

F_{Y} (y) = P (X^{2} \leq y) = P (- y \leq X \leq y) = \int_{- y}^{y} \frac{1}{2 π} e^{- \frac{x ^{2}}{2}} d x

从而, 对 $y \geq 0$ , 对 $F_{Y} (y)$ 关于 $y$ 求导, 得 $Y$ 的分布密度函数为

f_{Y} (y) = \frac{1}{2 π} e^{- \frac{( y ) ^{2}}{2}} \times (\frac{1}{2 y}) - \frac{1}{2 π} e^{- \frac{( - y ) ^{2}}{2}} \times (- \frac{1}{2 y}) = \frac{1}{2 π} \frac{1}{y} e^{- \frac{y}{2}} = \frac{( \frac{1}{2} ) ^{\frac{1}{2}}}{Γ ( \frac{1}{2} )} y^{- \frac{1}{2}} e^{- \frac{y}{2}} .

其中用到 $Γ (\frac{1}{2}) = π$ .

总之,

f_{Y} (y) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{( \frac{1}{2} ) ^{\frac{1}{2}}}{Γ ( \frac{1}{2} )} y^{- \frac{1}{2}} e^{- \frac{y}{2}}, 0, y > 0, y \leq 0.