2.2.3 几何分布

我们考虑一种随机试验, 它是一次次独立地做伯努利试验, 直到第一次成功为止, 设每次试验成功的概率为 $p$, 记首次成功时已做试验的次数为 $X$. 则首次成功出现在第 $k$ 次试验, 当且仅当前 $k-1$ 次失败而第 $k$ 次成功, 所以由试验的独立性知,

$$P\left(X=k\right)={\left(1-p\right)}^{k-1}p,k=1,2,\cdots .\text{\hspace{1em}(2.2.5)}$$

由于几何级数: $1+\left(1-p\right)+{\left(1-p\right)}^2+\cdots +{\left(1-p\right)}^k+\cdots =\frac{1}{1-\left(1-p\right)}=\frac{1}{p},$ 可见(2.2.5) 给出的分布为概率分布, 因此也称(2.2.5) 的分布为几何分布, 记为 $X\sim \mathrm{Geo}\left(p\right),\mathrm{R}$ 软件中的分布名为 geom.

• python 绘制几何分布
• 例 2.2.6 (地下采矿逃生通道选择)

无记忆性

几何分布有一个独特的性质是它的 “无记忆性”, 即已知第 $k$ 次还未成功, 那么从第 $k+1$ 次开始, 首次成功出现在哪一次与 $k$ 无关. 也就是说, 若 $X\sim \mathrm{Geo}\left(p\right)$, 则

$$P\left(X=k+n\mid X>k\right)=P\left(X=n\right).\text{\hspace{1em}(2.2.6)}$$

事实上,

$$\begin{array}{rl}& P\left(X=k+n\mid X>k\right)\\ & =\frac{P\left(\left(X=k+n\right)\cap \left(X>k\right)\right)}{P\left(X>k\right)}\\ & =\frac{P\left(X=k+n\right)}{P\left(X>k\right)}\\ & =\frac{P\left(X=k+n\right)}{{\sum }_{l=k+1}^{\infty }P\left(X=l\right)}\\ & =\frac{(1-p{)}^{k+n-1}p}{{\sum }_{l=k+1}^{\infty }(1-p{)}^{l-1}p}\\ & =\frac{(1-p{)}^{n+k-1}p}{(1-p{)}^k}\\ & =(1-p{)}^{n-1}p\\ & =P\left(X=n\right).\end{array}$$

这说明(2.2.6) 正确.

读者也可以证明

$$P\left(X>k+n\mid X>k\right)=P\left(X>n\right).\text{\hspace{1em}(2.2.7)}$$

几何分布是离散型随机变量中唯一的具有无记忆性的概率分布。

常用的离散型分布还有不少, 比如超几何分布、负二项分布 (帕斯卡 (Pascal) 分布) 等等, 这里不一一列举了. 下面我们介绍几类连续型分布.