2.2 一维离散型随机变量

有些随机变量, 它只取有限多个或可列多个不同的值, 我们称这类随机变量为离散型随机变量.

一般地, 设离散型随机变量 $X$ 的取值为 $a_1,a_2,\cdots ,a_n,\cdots$. 且已知

$$P\left(X=a_i\right)=p_i,i=1,2,\cdots .$$

通常记为

$$X\sim \left(\begin{array}{lllll}{a}_1& a_2& \cdots & a_n& \cdots \\ p_1& p_2& \cdots & p_n& \cdots \end{array}\right),$$

并称上式右端为 $X$ 的分布列, 称 $\left(p_1,p_2,\cdots ,p_n,\cdots \right)$ 为概率分布. 它显然满足以下两个性质:

1. $p_i\ge 0$, $i=1,2,\cdots$.
2. $\sum _{i=1}^{\infty }{p}_i=1$.

此时, $X$ 的分布函数为

$$F_X\left(x\right)=P\left(X\le x\right)=\sum _{a_i\le x}{p}_i.\text{\hspace{1em}(2.2.1)}$$

其图形为一右连续的阶梯函数, 在点 $a_i$ 处提高 $p_i$.

另外, 对任意 $a<b$, 有

$$P\left(a<X\le b\right)=\sum _{a<a_i\le b}{p}_i.\text{\hspace{1em}(2.2.2)}$$

下面我们介绍几类有重要实际应用背景的离散型分布.

• 2.2.1 二项分布
• 2.2.2 泊松分布
• 2.2.3 几何分布