2.1.1 随机变量的概念

大量的随机试验, 其结果就是某一个量的取值或与某一数量相联系.

随机变量

比如掷一颗骰子, 观察出现的点数, 在事件 ${\omega }_i=\{$ 出现的点数为 $i\}\left(i=1,2,\cdots ,6\right)$. 自然地与 “点数” 这个量相联系. 再比如, 观测一批电视机的使用寿命, 其结果就是 “寿命” 这一数量的某个取值. 但试验结束之前, 无法预知该数量取何值, 所以自然地将该数量称为 “随机变量”.

另外, 对于那些试验结果不明显地与数量有联系的随机试验, 可以人为地规定一个结果对应于某一量的取值, 从而将一个事件与该量的某取值相对应, 该事件的概率就是该量取某值的概率.

Example

检测一批产品中的一件产品是合格品还是不合格品. 此试验的结果有两个, 它们是

• $A=\{$ 受检产品为不合格品 $\}$
• $\bar{A}=\{$ 受检产品为合格品 $\}$.

如果我们规定一个量 $X$ 与试验结果相对应,

• 当 $A$ 发生时, $X$ 取值 $1$,
• $A$ 发生时, $X$ 取值 0, 则 $P\left(A\right)=P\left(X=1\right)$, $P\left(\bar{A}\right)=P\left(X=0\right)$. 这里在检测结束之前, 也不知道 $X$ 取何值, 所以 $X$ 也是随机变量.

综上所述, 我们要引进的 “随机变量” 就是随机取值的量, 即随机变量的取值由随机试验的结果 (事件) 来确定. 我们将其概括为如下的定义.

定义 2.1.1 (随机变量)

设 $\left(\Omega ,\mathcal{F},P\right)$ 为概率空间, 称映射 $X:\Omega \to \mathbf{R}$ 为随机变量 如果对任意 $x\in \mathbf{R}$, 有

$$\{\omega \mid X\left(\omega \right)\le x\}\in \mathcal{F}.\text{\hspace{1em}(2.1.1)}$$Link to original

随机变量的直观意义是在做试验之前无法预知 $X$ 取何值. 至于定义中要求满足 (2.1.1), 正是后文定义随机变量的分布函数的需要, 进而我们所关心的事件的概率可用分布函数的值来表达.

Example

对于随机事件 $A\in \mathcal{F}$, 若定义

$$X\left(\omega \right)=\{\begin{array}{ll}1,& \text{ 如果 }\omega \in A,\\ 0,& \text{ 如果 }\omega \in \Omega \setminus A.\end{array}$$

则 $X$ 为随机变量, 且 $P\left(A\right)=P\left(X=1\right)$.

例 2.1.1 (例 1.2.5 续)