2.1.2 随机变量的分布函数

引入了随机变量之后, 我们仍然关心的是如何分析计算有关事件的概率, 这个问题可以通过引入随机变量的分布函数来解决.

定义 2.1.2 (分布函数, cumulative distribution function, CDF)

设 $\left(\Omega ,\mathcal{F},P\right)$ 为概率空间, $X$ 为随机变量, $X$ 的分布函数 $F_X$ 定义为

$$F_X\left(x\right)=P\left(\{\omega \in \Omega :X\left(\omega \right)\le x\}\right),\forall x\in \mathbf{R}.\text{\hspace{1em}(2.1.2)}$$

以后将 $\{\omega \in \Omega :X\left(\omega \right)\le x\}$ 简写为 $\left(X\le x\right)$.

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由此定义, 显然有,

$$P\left(a<X\le b\right)=F_X\left(b\right)-F_X\left(a\right),\forall a<b\in \mathbf{R}.\text{\hspace{1em}(2.1.3)}$$

再利用概率测度上下连续性, 容易证明下列事实:

• $P\left(X=a\right)=F_X\left(a\right)-F_X\left(a-0\right),\forall a\in \mathbf{R}$
• $P\left(a\le X\le b\right)=F_X\left(b\right)-F_X\left(a-0\right),\forall a<b\in \mathbf{R}$
• $P\left(a\le X<b\right)=F_X\left(b-0\right)-F_X\left(a-0\right),\forall a<b\in \mathbf{R}$
• $P\left(a<X<b\right)=F_X\left(b-0\right)-F_X\left(a\right),\forall a<b\in \mathbf{R}$

这些事实说明, 引入随机变量的分布函数之后, 我们所关心的有关事件的概率都可以用其分布函数来表达, 也就是通常所说的, 随机变量的所有统计特性都可用其分布函数来刻画.

另外, 利用概率测度上下连续性可以证明分布函数的下述性质.

Transclude of 定理-2.1.1-(随机变量分布函数的特征性质)#statement

我们常称定理 2.1.1 中所述分布函数的这三条性质为随机变量分布函数的特征性质, 也就是说, 若有定义于 $\mathbf{R}$ 上的实函数 $F$ 满足性质 1-3, 则可以构造一个概率空间 $\left(\Omega ,\mathcal{F},P\right)$ 和其上的随机变量 $X$, 使 $F_X\left(x\right)=F\left(x\right),\forall x\in \mathbf{R}.$ 这个事实称为柯尔莫哥洛夫存在性定理.

现实生活中见到的随机变量有两类, 一类是随机变量取至多可数多个不同的值, 另一类是它取值于实数的全体或某个区间. 对于这两类随机变量, 其统计特性更容易刻画, 我们在后续两节分别加以介绍.