2.3.1 均匀分布

定义 (均匀分布)

如果连续型随机变量 $X$ 的分布密度函数为

$$f_X\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a},& \text{ 当 }x\in \left[a,b\right],\\ 0,& \text{ 当 }x\notin \left[a,b\right],\end{array}\text{\hspace{1em}(2.3.6)}$$

则称 $X$ 服从 $\left[a,b\right]$ 上的均匀分布, 记为 $X\sim U\left[a,b\right],\mathrm{R}$ 软件中的分布名为 unif. 其分布函数为

$$F_X\left(x\right)={\int }_{-\infty }^{x}f\left(t\right)\mathrm{d}t=\{\begin{array}{ll}0,& \text{ 当 }x<a,\\ \frac{x-a}{b-a},& \text{ 当 }a\le x\le b,\\ 1,& \text{ 当 }x>b.\end{array}$$Link to original

由 (2.3.6) 可知, $f_X$ 在 $\left[a,b\right]$ 上取常值, 所以对任意满足 $a\le c<d\le b$ 的 $c$ 和 $d$ 有

$$P\left(c\le X\le d\right)={\int }_c^d\frac{1}{b-a}\mathrm{d}x=\frac{d-c}{b-a}.$$

这就是均匀分布名称的由来. 另外, 几何概型中, 若投点都落入区间 $\left[a,b\right]$, 记 $X$ 为落点坐标, 则 $X\sim U\left[a,b\right]$.

在计算机数字计算的浮点运算中, 如果要求精度保留在小数点后第五位, 小数点后第六位作四舍五入处理, 在对最后的数值计算结果作精度分析时, 往往假定每步计算时, 数值的近似值 $\hat{x}$ 与精确值 $x$ 之间的误差 $\epsilon =x-\hat{x}\sim U[-0.5\times$ ${10}^{-5},0.5\times {10}^{-5}]$.