例 3.2.3 (例 3.2.1 续)

回顾 例 3.2.1 (从产品中任取4件的联合分布). 设 $(X,Y)$ 的联合分布列如

表 3.2 (X, Y) 的联合分布

$X$ \ $Y$	0	1	2	3	4	$p_{i\cdot }$
0	0	0	10/210	20/210	5/210	35/210
1	0	15/210	60/210	30/210	0	105/210
2	3/210	30/210	30/210	0	0	63/210
3	2/210	5/210	0	0	0	7/210
$p_{\cdot j}$	5/210	50/210	100/210	50/210	5/210	1

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1. 试求 $\{Y=1\}$ 条件下 $X$ 的条件分布列.
2. 试求 $\{X=2\}$ 条件下 $Y$ 的条件分布列.

解

1

由表 3.2 知, $P\left(Y=1\right)=\frac{50}{210}$,c所以由 (3.2.3) 得 $\{Y=1\}$ 条件下 $X$ 的条件分布列为

$$P\left(X=0\mid Y=1\right)=\frac{P\left(X=0,Y=1\right)}{P\left(Y=1\right)}=\frac{0}{\frac{50}{210}}=0,$$ $$P\left(X=1\mid Y=1\right)=\frac{P\left(X=1,Y=1\right)}{P\left(Y=1\right)}=\frac{\frac{15}{210}}{\frac{50}{210}}=\frac{3}{10},$$ $$P\left(X=2\mid Y=1\right)=\frac{P\left(X=2,Y=1\right)}{P\left(Y=1\right)}=\frac{\frac{30}{210}}{\frac{50}{210}}=\frac{3}{5},$$ $$P\left(X=3\mid Y=1\right)=\frac{P\left(X=3,Y=1\right)}{P\left(Y=1\right)}=\frac{\frac{5}{210}}{\frac{50}{210}}=\frac{1}{10}.$$

2

同理,由于 $P\left(X=2\right)=\frac{63}{210}$, 用 (3.2.4) 得 $\{X=2\}$ 条件下 $Y$ 的条件分布列为

$$P\left(Y=0\mid X=2\right)=\frac{P\left(Y=0,X=2\right)}{P\left(X=2\right)}=\frac{\frac{3}{210}}{\frac{63}{210}}=\frac{1}{21},$$ $$P\left(Y=1\mid X=2\right)=\frac{P\left(Y=1,X=2\right)}{P\left(X=2\right)}=\frac{\frac{30}{210}}{\frac{63}{210}}=\frac{10}{21},$$ $$P\left(Y=2\mid X=2\right)=\frac{P\left(Y=2,X=2\right)}{P\left(X=2\right)}=\frac{\frac{30}{210}}{\frac{63}{210}}=\frac{10}{21},$$ $$P\left(Y=3\mid X=2\right)=\frac{P\left(Y=3,X=2\right)}{P\left(X=2\right)}=\frac{0}{\frac{63}{210}}=0,$$ $$P\left(Y=4\mid X=2\right)=\frac{P\left(Y=4,X=2\right)}{P\left(X=2\right)}=\frac{0}{\frac{63}{210}}=0.$$