3.3.2 二维连续型随机向量的条件密度函数

与二维离散型随机向量的条件分布列相对应, 当 $(X,Y)$ 为二维连续型随机同量时, 若已知 $\{Y=y\}$ 发生, 在此条件下, $X$ 的条件分布应该是怎样的?

由于 $Y$ 为连续型随机变量, 对任意 $y$ 有 $P\left(Y=y\right)=0$, 所以条件分布不能如 (3.2.3) 来确定, 但可以借助 $(X,Y)$ 的联合分布密度函数和边缘分布密度函数来定义.

定义 (条件密度函数)

设 $(X,Y)$ 为二维连续型随机向量, 其联合分布密度函数为 $f_{X,Y}$, 边缘分布密度分别为 $f_X,f_Y$. 若 $f_Y\left(y\right)>0$, 则在 $\{Y=y\}$ 发生的条件下 $X$ 的条件密度函数定义为

$$f_{X\mid Y}\left(x\mid y\right)=\frac{f_{X,Y}\left(x,y\right)}{f_Y\left(y\right)},\forall x\in \mathbf{R}.\text{\hspace{1em}(3.3.4)}$$

若 $f_X\left(x\right)>0$, 在 $\{X=x\}$ 发生的条件下 $Y$ 的条件密度函数定义为

$$f_{Y\mid X}\left(y\mid x\right)=\frac{f_{X,Y}\left(x,y\right)}{f_X\left(x\right)},\forall y\in \mathbf{R}.\text{\hspace{1em}(3.3.5)}$$Link to original

例 3.3.6 (例 3.3.1 续)

有兴趣的读者, 还可以验证 例 3.3.4 (二维正态分布) 的两个条件分布密度函数分别为

$$f_{X\mid Y}\left(x\mid y\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_1\sqrt{1-{\rho }^2}}\exp \left\{-\frac{1}{2{\sigma }_1^2\left(1-{\rho }^2\right)}{\left[x-\left({\mu }_1+\rho \frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_2}\left(y-{\mu }_2\right)\right)\right]}^2\right\}$$

和

$$f_{Y\mid X}\left(y\mid x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}\exp \left\{-\frac{1}{2{\sigma }_2^2\left(1-{\rho }^2\right)}{\left[y-\left({\mu }_2+\rho \frac{{\sigma }_2}{{\sigma }_1}\left(x-{\mu }_1\right)\right)\right]}^2\right\}.$$

亦即, 在 $\{Y=y\}$ 发生的条件下 $X$ 的条件分布为

$$N\left({\mu }_1+\rho \frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_2}\left(y-{\mu }_2\right),{\sigma }_1^2\left(1-{\rho }^2\right)\right).\text{\hspace{1em}(3.3.6)}$$

在 $\{X=x\}$ 发生的条件下 $Y$ 的条件分布为

$$N\left({\mu }_2+\rho \frac{{\sigma }_2}{{\sigma }_1}\left(x-{\mu }_1\right),{\sigma }_2^2\left(1-{\rho }^2\right)\right).\text{\hspace{1em}(3.3.7)}$$