例 3.3.4 (二维正态分布)

若随机向量 $(X, Y)$ 的分布密度函数为

f_{X, Y} (x, y) = \frac{1}{2 π σ _{1} σ _{2} 1 - ρ ^{2}} \times exp {- \frac{1}{2 ( 1 - ρ ^{2} )} (\frac{( x - μ _{1} ) ^{2}}{σ _{1}^{2}} - 2 ρ \frac{( x - μ _{1} ) ( y - μ _{2} )}{σ _{1} σ _{2}} + \frac{( y - μ _{2} ) ^{2}}{σ _{2}^{2}})} .

则称 $(X, Y)$ 服从参数为 $μ_{1}, μ_{2}, σ_{1}^{2}, σ_{2}^{2}, ρ$ 的正态分布, 记为 $(X, Y) \sim N (μ_{1}, μ_{2}, σ_{1}^{2})$ ,

利用 (3.3.3) 计算可知, $X$ 和 $Y$ 边缘分布密度分别为

f_{X} (x) = \frac{1}{2 π σ _{1}} e^{- \frac{( x - μ _{1} ) ^{2}}{2 σ _{1}^{2}}}, f_{Y} (y) = \frac{1}{2 π σ _{2}} e^{- \frac{( y - μ _{2} ) ^{2}}{2 σ _{2}^{2}}} .

即 $X \sim N (μ_{1}, σ_{1}^{2})$ , $Y \sim N (μ_{2}, σ_{2}^{2})$ .

另外, 利用 (3.1.9) 容易看出, $X$ 与 $Y$ 相互独立的充要条件是参数 $ρ = 0$ .

Youliang Zhong