性质 2 (独立随机变量的线性组合的方差)

性质 2 (独立随机变量的线性组合的方差)

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 且 $X$ 与 $Y$ 的方差都存在, $a, b$ 为常数, 则
$Var [a X + bY] = a^{2} Var [X] + b^{2} Var [Y] . (4.2.10)$

证明

由 $X$ 与 $Y$ 相互独立和 (4.2.7) 以及期望的性质 3 知, $Cov (X, Y) = 0$ . 再由数学期望的线性性, 我们有

Var [a X + bY] = E [[(a X + bY) - E [a X + bY]]^{2}] = E [[a (X - E [X]) + b (Y - E [Y])]^{2}] = E [a^{2} (X - E [X])^{2} + b^{2} (Y - E [Y])^{2} + 2 ab (X - E [X]) (Y - E [Y])] = a^{2} Var [X] + b^{2} Var [Y] + 2 ab Cov (X, Y) = a^{2} Var [X] + b^{2} Var [Y] .