定理 6.3.1 (抽样分布基本定理)

设总体 $X\sim N\left(0,1\right),\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 为其样本, 则

• 样本均值 $\bar{X}\sim N\left(0,\frac{1}{n}\right)$,
• $n{S}_n^2\sim {\chi }^2\left(n-1\right)$,
• $\bar{X}$ 与 $S_n^2$ 相互独立.

证明

1. 样本均值 $\bar{X}$ 的分布

样本均值的定义为：

$$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$$

由于 $X_i\sim N(0,1)$，线性组合的正态性性质表明：

$$\bar{X}\sim N\left(0,\frac{1}{n}\right)$$

证明：

• 均值：$\mathbb{E}[\bar{X}]=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n\mathbb{E}[X_i]=0$。
• 方差：$Var(\bar{X})=\frac{1}{n^2}{\sum }_{i=1}^{n}Var(X_i)=\frac{1}{n}$。
  因此，$\bar{X}\sim N\left(0,\frac{1}{n}\right)$ ¹²。

2. 样本方差 $n{S}_n^2$ 的卡方分布

样本方差定义为：

$$S_n^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$$

需证明：

$$n{S}_n^2=\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2\sim {\chi }^2(n-1)$$

证明： 通过正交变换将样本分解为均值部分和残差部分。设：

$$Y_1=\sqrt{n}\bar{X},Y_2,\dots ,Y_n\text{ 为与 }{Y}_1\text{ 正交的残差}$$

由于正交变换保持独立性且 $Y_1\sim N(0,1)$，残差 $Y_2,\dots ,Y_n$ 独立于 $Y_1$ 且服从标准正态分布。因此：

$$\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2=\sum _{i=2}^n{Y}_i^2\sim {\chi }^2(n-1)$$

详细推导见³²⁴。

3. $\bar{X}$ 与 $S_n^2$ 的独立性

证明： 利用正交投影的几何性质。将样本向量 $\mathbf{X}=(X_1,\dots ,X_n)$ 投影到均值方向 $\mathbf{e}=(1,\dots ,1)$ 和其正交补空间：

$$\mathbf{X}=\bar{X}\mathbf{e}+(\mathbf{X}-\bar{X}\mathbf{e})$$

由于正态向量的正交投影相互独立，$\bar{X}$ 与残差向量 $\mathbf{X}-\bar{X}\mathbf{e}$ 独立。而 $S_n^2$ 是残差的函数，故 $\bar{X}$ 与 $S_n^2$ 独立⁵²⁶。

总结

1. 样本均值的正态性：由正态分布的线性组合性质直接得出。
2. 样本方差的卡方分布：通过正交变换将平方和分解为独立正态变量的平方和。
3. 独立性：正交投影分解的几何性质保证了均值与残差的独立性。

这些结论共同构成了正态样本下均值与方差的核心性质。

Footnotes

1. https://amsi.org.au/ESA_Senior_Years/SeniorTopic4/4h/4h_2content_8.html ↩

2. https://www2.stat.duke.edu/courses/Fall18/sta611.01/Lecture/lec12_mean_var_indep.pdf ↩ ↩² ↩³

3. https://statproofbook.github.io/P/norm-chi2.html ↩

4. https://math.stackexchange.com/questions/47009/proof-of-fracn-1s2-sigma2-sim-chi2-n-1 ↩

5. https://uregina.ca/~kozdron/Teaching/Regina/351Fall09/Handouts/indSRS.pdf ↩

6. https://stats.stackexchange.com/questions/596314/whats-the-intuition-behind-the-fact-that-sample-mean-and-sample-variance-are-in ↩