6.3.4 正态总体的抽样分布

Transclude of 定理-6.3.1-(抽样分布基本定理)#statement

由于篇幅限制, 我们略去 定理 6.3.1 的证明, 但从中我们看到正态分布的极端特殊性

1. 由于 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 独立且都服从正态分布, 从而 $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 服从 $n$ 维正态分布.
   • 由命题 3.4.1 知, $\bar{X}=\frac{1}{n}{X}_1+\frac{1}{n}{X}_2+\cdots +\frac{1}{n}{X}_n$ 服从正态分布.
2. $S_n^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2$, 即 $S_n^2$ 是 $\bar{X}$ 的函数,二者却相互独立.

从定理 6.3.1 的事实出发, 利用命题 6.3.2、命题 6.3.3 和命题 6.3.4 中给出的 ${\chi }^2$ 分布、 $t$ 分布和 $F$ 分布的定义, 容易证明如下四个推论, 它们在后文的分析过论中将发挥关键性的作用.

• 推论 6.3.1 (正态分布样本的均值与方差)
• 推论 6.3.2 (标准化的样本均值服从 t 分布)
• 推论 6.3.3 (两个正态总体方差比的F分布性质)
• 推论 6.3.4 (两正态总体均值差的t分布检验统计量)
• 命题 6.3.5 (正态分布的顺序统计量)
  • 对于顺序统计量, 用初等概率论的一般方法, 容易证明

常用分布的应用

单个正态分布

设总体 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$, $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 为其样本, 则

Transclude of 推论-6.3.1-(正态分布样本的均值与方差)#eq-6-3-12

Transclude of 推论-6.3.1-(正态分布样本的均值与方差)#eq-6-3-13

Transclude of 推论-6.3.2-(标准化的样本均值服从-t-分布)#eq-3-14

两个正态分布

Transclude of 推论-6.3.3-(两个正态总体方差比的F分布性质)#list

Transclude of 推论-6.3.3-(两个正态总体方差比的F分布性质)#eq-6-3-15

Transclude of 推论-6.3.4-(两正态总体均值差的t分布检验统计量)#eq-6-3-16

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