命题 6.3.3 (t分布)

设 $X\sim N\left(0,1\right)$, $Y\sim {\chi }^2\left(n\right)$, 且 $X$ 与 $Y$ 相互独立,令

$$T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}$$

则 $T$ 的分布密度函数 $f_T$ 为

$$f_T\left(x\right)=\frac{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi }\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\left(1+\frac{x^2}{n}\right)}^{-\frac{n+1}{2}}.\text{\hspace{1em}(6.3.9)}$$