命题 6.3.3 的证明

命题 6.3.3 (t分布)

设 $X\sim N\left(0,1\right)$, $Y\sim {\chi }^2\left(n\right)$, 且 $X$ 与 $Y$ 相互独立,令

$$T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}$$

则 $T$ 的分布密度函数 $f_T$ 为

$$f_T\left(x\right)=\frac{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi }\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\left(1+\frac{x^2}{n}\right)}^{-\frac{n+1}{2}}.\text{\hspace{1em}(6.3.9)}$$

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证明

1. 联合概率密度函数

设$X$和$Y$的联合密度函数为：

$$f_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}\cdot \frac{y^{n/2-1}{e}^{-y/2}}{2^{n/2}\Gamma (n/2)}$$

2. 变量替换

引入变量替换：

$$T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}},U=Y$$

解得逆变换：

$$X=T\sqrt{U/n},Y=U$$

3. Jacobian行列式

计算变换的Jacobian行列式：

$$J=\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial X}{\partial T}& \frac{\partial X}{\partial U}\\ \frac{\partial Y}{\partial T}& \frac{\partial Y}{\partial U}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\sqrt{U/n}& \frac{T}{2\sqrt{nU}}\\ 0& 1\end{array}\right|=\sqrt{U/n}$$

4. 新变量的联合密度

变换后的联合密度函数为：

$$\begin{array}{rl}{f}_{T,U}(t,u)& =f_{X,Y}\left(t\sqrt{\frac{u}{n}},u\right)\cdot |J|\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-t^{2}u/(2n)}\cdot \frac{u^{n/2-1}{e}^{-u/2}}{2^{n/2}\Gamma (n/2)}\cdot \sqrt{\frac{u}{n}}\end{array}$$

5. 对$U$积分求边际密度

对$u$积分得到$T$的边际密度：

$$f_T(t)={\int }_0^{\infty }\frac{u^{(n+1)/2-1}{e}^{-u\left(\frac{t^2}{2n}+\frac{1}{2}\right)}}{\sqrt{2\pi n}\cdot 2^{n/2}\Gamma (n/2)}du$$

通过Gamma积分公式${\int }_0^{\infty }{x}^{k-1}{e}^{-ax}dx=\frac{\Gamma (k)}{a^k}$，令：

$$a=\frac{t^2+n}{2n},k=\frac{n+1}{2}$$

积分结果为：

$$\frac{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi }\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\cdot {\left(1+\frac{t^2}{n}\right)}^{-(n+1)/2}$$

结论

最终得到$T$的密度函数为：

$$f_T(x)=\frac{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi }\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\left(1+\frac{x^2}{n}\right)}^{-\frac{n+1}{2}}$$

注

教材中的密度函数中的 $(1+x^2/2)$ 项应为 $(1+x^2/n)$，可能为笔误。 标准t分布的密度函数形式如上述推导所示¹²³⁴。

Footnotes

1. https://stats.stackexchange.com/questions/151854/a-normal-divided-by-the-sqrt-chi2s-s-gives-you-a-t-distribution-proof ↩

2. https://en.wikipedia.org/wiki/Student’s_t-distribution ↩

3. https://statproofbook.github.io/P/t-pdf.html ↩

4. https://stats.libretexts.org/Bookshelves/Probability_Theory/Probability_Mathematical_Statistics_and_Stochastic_Processes_(Siegrist)/05:_Special_Distributions/5.10:_The_Student_t_Distribution ↩