7.3.2 两个正态总体参数的区间估计

设 $X\sim N\left({\mu }_1,{\sigma }_1^2\right),Y\sim N\left({\mu }_2,{\sigma }_2^2\right)$,且 $X$ 与 $Y$ 相互独立,样本分别为 $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_m\right)$ 和 $\left(Y_1,Y_2,\cdots ,Y_n\right)$. 样本均值与样本方差为

$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i,\bar{Y}=\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n{Y}_j,S_{1m}^2=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2,S_{2n}^2=\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n{\left(Y_j-\bar{Y}\right)}^2.$

1. 期望差的区间估计 (已知期望)

由于 $\bar{X}\sim N\left({\mu }_1,\frac{{\sigma }_1^2}{m}\right),\bar{Y}\sim N\left({\mu }_2,\frac{{\sigma }_2^2}{n}\right)$,且由 $X$ 与 $Y$ 相互独立知 $\bar{X}$ 与 $\bar{Y}$

独立, 于是有

$$\bar{X}-\bar{Y}\sim N\left({\mu }_1-{\mu }_2,\frac{{\sigma }_1^2}{m}+\frac{{\sigma }_2^2}{n}\right),$$

亦即

$$\frac{\left(\bar{X}-\bar{Y}\right)-\left({\mu }_1-{\mu }_2\right)}{\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{m}+\frac{{\sigma }_2^2}{n}}}\sim N\left(0,1\right),$$

由此令

$$P\left(\left|\frac{\left(\bar{X}-\bar{Y}\right)-\left({\mu }_1-{\mu }_2\right)}{\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{m}+\frac{{\sigma }_2^2}{n}}}\right|\le u_{1-\frac{\alpha }{2}}\right)=1-\alpha ,$$

求出分位点 $u_{1-\frac{\alpha }{2}}$ 并作等式变形立得 ${\mu }_1-{\mu }_2$ 的区间估计

$$\left[\left(\bar{X}-\bar{Y}\right)-u_{1-\frac{\alpha }{2}}\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{m}+\frac{{\sigma }_2^2}{n}},\left(\bar{X}-\bar{Y}\right)+u_{1-\frac{\alpha }{2}}\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{m}+\frac{{\sigma }_2^2}{n}}\right].\text{\hspace{1em}(7.3.9)}$$

2. 期望差的区间估计 (未知相同方差)

由推论 6.3.4 知

$$\frac{\left(\bar{X}-\bar{Y}\right)-\left({\mu }_1-{\mu }_2\right)}{S_w\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}}\sim t\left(m+n-2\right),$$

由此令

$$P\left(\left|\frac{\left(\bar{X}-\bar{Y}\right)-\left({\mu }_1-{\mu }_2\right)}{S_w\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}}\right|\le t_{1-\frac{\alpha }{2}}\left(m+n-2\right)\right)=1-\alpha ,$$

求出分位点 $t_{1-\frac{\alpha }{2}}$ 并作等式变形立得 ${\mu }_1-{\mu }_2$ 的区间估计

$$\begin{array}{r}\left[\left(\bar{X}-\bar{Y}\right)-t_{1-\frac{\alpha }{2}}\left(m+n-2\right)S_w\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}},\left(\bar{X}-\bar{Y}\right)+t_{1-\frac{\alpha }{2}}\left(m+n-2\right)S_w\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}\right],\\ \left(\mathrm{7.3.10}\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(7.3.10)}$$

其中 $S_w=\sqrt{\frac{m{S}_{1m}^2+n{S}_{2n}^2}{m+n-2}}$.

例 7.3.4 两台机床生产同一型号的滚珠, 从甲机床和乙机床生产的滚珠中分别抽取 8 个和 9 个, 测得滚珠直径如下 (单位: mm)

甲机床: 15.0 14.8 15.2 15.4 14.9 15.1 15.2 14.8

乙机床: 15.2 15.0 14.8 15.1 15.0 14.6 14.8 15.1 14.5

已知两台机床生产的滚珠的直径都服从正态分布, 试求这两台机床生产的滚珠直径均值差的区间估计, 置信度为 0.90.

(1)已知甲、乙机床生产的滚珠直径的标准差分别为 ${\sigma }_1=0.18\mathrm{mm}$ 及 ${\sigma }_2=$ $0.24\mathrm{mm}$.

(2) ${\sigma }_1,{\sigma }_2$ 未知,但知 ${\sigma }_1={\sigma }_2$.

解 设甲、乙机床生产的滚珠直径分别为 $X\sim N\left({\mu }_1,{\sigma }_1^2\right)$ 和 $Y\sim N\left({\mu }_2,{\sigma }_2^2\right)$, 由题意, $X$ 与 $Y$ 相互独立, $m=8,n=9$. 经计算得

$$\bar{x}=15.05,\bar{y}=14.90,s_{1m}^2=0.0457,s_{2n}^2=0.0575.$$

(1) $\alpha =0.10$,查表或用 $\mathrm{R}$ 软件计算的 $u_{0.95}=1.645$,用 (7.3.9) 得到 ${\mu }_1-{\mu }_2$ 的置信度为 0.90 的区间估计 $\left[-0.018,0.318\right]$.

(2) $\alpha =0.10$,查表或用 $\mathrm{R}$ 软件计算的 $t_{0.95}\left(15\right)=1.75305$,用 (7.3.10) 得到 ${\mu }_1-{\mu }_2$ 的置信度为 0.90 的区间估计 $\left[-0.044,0.344\right]$.

另外,请读者执行如下两个 $\mathrm{R}$ 程序,看有什么结果.

---

$x<-c\left(15.0,14.8,15.2,15.4,14.9,15.1,15.2,14.8\right)$

$y <  - c\left( {{15.2},{15.0},{14.8},{15.1},{15.0},{14.6},{14.8},{15.1},{14.5}}\right)$

	sigma1<-0.18; sigma2<-0.24

		alpha<-0.10

		n1<-length(x); n2<-length(y)

		z1<-mean(x)-mean(y)

				z2<-qnorm(1-alpha/2)*sqrt(sigma1^2/n1+sigma2^2/n2)

					list(c.i1=c(z1-z2, z1+z2))

						z3<-qt(1-alpha/2, n1+n2-2)*sqrt((1/n1+1/n2)*((n1-1)*var(x)

							$+ \left( {{n2} - 1}\right)  * \operatorname{var}\left( y\right) )/\left( {{n1} + {n2} - 2}\right) )$

							list(c.i2=c(z1-z3, z1+z3))

---

128

或者

$x<-c\left(15.0,14.8,15.2,15.4,14.9,15.1,15.2,14.8\right)$

$y<-c\left(15.2,15.0,14.8,15.1,15.0,14.6,14.8,15.1,14.5\right)$

sigma1←0.18; sigma2←0.24

alpha←0.10

n1←length(x); n2←length(y)

z1←mean(x)-mean(y)

z2←qnorm(1-alpha/2)*sqrt(sigma1^2/n1+sigma2^2/n2)

list(c.i1=c(z1-z2, z1+z2))

t.test(x, y, conf.level=0.90, var.equal=TRUE)$conf

3. 方差比值的区间估计 (已知期望)

由于

$$\frac{X_i-{\mu }_1}{{\sigma }_1}\sim N\left(0,1\right),i=1,2,\cdots ,m.\frac{Y_j-{\mu }_2}{{\sigma }_2}\sim N\left(0,1\right),j=1,2,\cdots ,n,$$

所以

$$\frac{\sum _{i=1}^m{\left(X_i-{\mu }_1\right)}^2}{{\sigma }_1^2}\sim {\chi }^2\left(m\right),\frac{\sum _{j=1}^n{\left(Y_j-{\mu }_2\right)}^2}{{\sigma }_2^2}\sim {\chi }^2\left(n\right),$$

从而由 $F$ 分布的定义有

$$\frac{n}{m}\frac{\sum _{i=1}^m{\left(X_i-{\mu }_1\right)}^2}{\sum _{j=1}^n{\left(Y_j-{\mu }_2\right)}^2}\frac{{\sigma }_2^2}{{\sigma }_1^2}\sim F\left(m,n\right),$$

再令

$$P\left(F_{\frac{\alpha }{2}}\left(m,n\right)\le \frac{n}{m}\frac{\sum _{i=1}^m{\left(X_i-{\mu }_1\right)}^2}{\sum _{j=1}^n{\left(Y_j-{\mu }_2\right)}^2}\frac{{\sigma }_2^2}{{\sigma }_1^2}\le F_{1-\frac{\alpha }{2}}\left(m,n\right)\right)=1-\alpha ,$$

求出分位点 $F_{\frac{\alpha }{2}}\left(m,n\right)$ 和 $F_{1-\frac{\alpha }{2}}\left(m,n\right)$ 并作等式变形立得 ${\sigma }_1^2/{\sigma }_2^2$ 的区间估计为

$$\left[\frac{1}{F_{1-\frac{\alpha }{2}}\left(m,n\right)}\frac{n\sum _{i=1}^m{\left(X_i-{\mu }_1\right)}^2}{m\sum _{j=1}^n{\left(Y_j-{\mu }_2\right)}^2},\frac{1}{F_{\frac{\alpha }{2}}\left(m,n\right)}\frac{n\sum _{i=1}^m{\left(X_i-{\mu }_1\right)}^2}{m\sum _{j=1}^n{\left(Y_j-{\mu }_2\right)}^2}\right].\text{\hspace{1em}(7.3.11)}$$

4. 方差比值的区间估计 (未知期望)

由推论 6.3.3 知

$$\frac{m{S}_{1m}^2}{n{S}_{2n}^2}\cdot \frac{{\sigma }_2^2}{{\sigma }_1^2}\cdot \frac{n-1}{m-1}=\frac{S_{1m}^{\ast 2}}{S_{2n}^{\ast 2}}\cdot \frac{{\sigma }_2^2}{{\sigma }_1^2}\sim F\left(m-1,n-1\right),$$

其中 $S_{1m}^{\ast 2}=\frac{m}{m-1}{S}_{1m}^2,S_{2n}^{\ast 2}=\frac{n}{n-1}{S}_{2n}^2$,再令

$$P\left(F_{\frac{\alpha }{2}}\left(m-1,n-1\right)\le \frac{S_{1m}^{\ast 2}}{S_{2n}^{\ast 2}}\cdot \frac{{\sigma }_2^2}{{\sigma }_1^2}\le F_{1-\frac{\alpha }{2}}\left(m-1,n-1\right)\right)=1-\alpha ,$$

求分位点 $(F_{\frac{\alpha }{2}}\left(m-1,n-1\right)$ 和 $F_{1-\frac{\alpha }{2}}\left(m-1,n-1\right)$ 并作等式变形立得 ${\sigma }_1^2/{\sigma }_2^2$ 的区间估计为

$$\left[\frac{1}{F_{1-\frac{\alpha }{2}}\left(m-1,n-1\right)}\frac{S_{1m}^{\ast 2}}{S_{2n}^{\ast 2}},\frac{1}{F_{\frac{\alpha }{2}}\left(m-1,n-1\right)}\frac{S_{1m}^{\ast 2}}{S_{2n}^{\ast 2}}\right].\text{\hspace{1em}(7.3.12)}$$

我们将 7.3.1 节和 7.3.2 节的结果总结于表 7.1.

例 7.3.5 (滚珠直径)