例 7.3.1 (滚珠直径 期望的区间估计)

• 已知 ^setting
  • 某厂生产的滚珠直径 $X\sim N\left(\mu ,0.06\right)$.
  • 从某天生产的滚珠中随机地抽取 6 只, 测得直径为 (单位: mm)
  • $\begin{array}{llllll}14.6& 15.1& 14.9& 14.8& 15.2& 15.1\end{array}$
• 试求 $\mu$ 的置信度为 0.95 的区间估计.

解

由于

• $\bar{x}=\frac{1}{6}\left(14.6+15.1+14.9+14.8+15.2+15.1\right)=14.95$
• $\sigma =\sqrt{0.06}$,
• $\alpha =0.05$,

查表或用 $\mathrm{R}$ 软件计算得 $u_{0.975}=1.96$, 用

Transclude of 1.-期望的区间估计-(已知方差)#eq-7-3-5

得到 $\mu$ 的置信度为 0.95 的区间估计 [14.754, 15.146].

代码

另外,请读者执行如下 python 程序,看有什么结果.

import numpy as np
from scipy.stats import norm
 
# 定义数据向量 x
x = np.array([14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1])
print(f"样本数据 (x): {x}")
 
# 定义标准差 sigma
sigma = np.sqrt(0.06)
print(f"已知标准差 (σ): {sigma:.4f}")
 
# 定义显著性水平 alpha
alpha = 0.05
print(f"显著性水平 (α): {alpha}")
 
# 计算样本均值
sample_mean = np.mean(x)
print(f"样本均值: {sample_mean:.4f}")
 
# 计算临界值 z_alpha/2
critical_value = norm.ppf(1 - alpha / 2)
print(f"临界值: {critical_value:.4f}")
 
# 计算标准误差
standard_error = sigma / np.sqrt(len(x))
print(f"标准误差: {standard_error:.4f}")
 
# 计算置信区间的边界值 margin of error
margin_of_error = critical_value * standard_error
print(f"边际误差: {margin_of_error:.4f}")
 
# 计算置信区间
lower_bound = sample_mean - margin_of_error
upper_bound = sample_mean + margin_of_error
confidence_interval = [lower_bound, upper_bound]
 
# 输出置信区间
print("\n置信区间 (95%):")
print(f"  下界: {confidence_interval[0]:.4f}")
print(f"  上界: {confidence_interval[1]:.4f}")
print(f"  表示为区间: [{confidence_interval[0]:.4f}, {confidence_interval[1]:.4f}]")

样本数据 (x): [14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1]  
已知标准差 (σ): 0.2449  
显著性水平 (α): 0.05  
样本均值: 14.9500  
临界值: 1.9600  
标准误差: 0.1000  
边际误差: 0.1960  
  
置信区间 (95%):  
 下界: 14.7540  
 上界: 15.1460  
 表示为区间: [14.7540, 15.1460]