例 7.3.2 (滚珠直径 期望的区间估计 未知方差)

Transclude of 例-7.3.1-(滚珠直径-期望的区间估计)#setting

若 ${\sigma }^2$ 未知, 试求 $\mu$ 的置信度为 0.95 的区间估计.

解

由 $\bar{x}=14.95$ 和

$$\begin{array}{rl}{s}_n^2& =\frac{1}{6}[{\left(14.6-14.95\right)}^2+{\left(15.1-14.95\right)}^2+{\left(14.9-14.95\right)}^2\\ & +{\left(14.8-14.95\right)}^2+{\left(15.2-14.95\right)}^2+{\left(15.1-14.95\right)}^2]\\ & =0.206^2.\end{array}$$

$\alpha =0.05$,查表或用 $\mathrm{R}$ 软件计算的 $t_{0.975}\left(5\right)=2.570582$, 用

Transclude of 2.-期望的区间估计-(未知方差)#eq-7-3-6

得到 $\mu$ 的置信度为 0.95 的置信区间 [14.713, 15.187].

代码

import numpy as np
from scipy.stats import t
 
# 定义数据向量 x
x = np.array([14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1])
print(f"样本数据 (x): {x}")
 
# 计算样本标准差 sigma (注意：这里使用了样本标准差)
sigma = np.std(x, ddof=1)  # ddof=1 表示计算样本标准差
print(f"样本标准差 (s): {sigma:.4f}")
 
# 定义显著性水平 alpha
alpha = 0.05
print(f"显著性水平 (alpha): {alpha}")
 
# 计算样本大小 n
n = len(x)
print(f"样本大小 (n): {n}")
 
# 计算样本均值 mean_x
mean_x = np.mean(x)
print(f"样本均值 (mean of x): {mean_x:.4f}")
 
# 计算 t 分布的临界值 t_critical
degrees_of_freedom = n - 1
t_critical = t.ppf(1 - alpha / 2, degrees_of_freedom)
print(f"t 分布临界值 (t with alpha/2, n-1): {t_critical:.4f}")
 
# 计算标准误差 standard_error
standard_error = sigma / np.sqrt(n)
print(f"标准误差 (s / sqrt(n)): {standard_error:.4f}")
 
# 计算置信区间的边界值 margin_of_error
margin_of_error = t_critical * standard_error
print(f"边际误差: {margin_of_error:.4f}")
 
# 计算置信区间
lower_bound = mean_x - margin_of_error
upper_bound = mean_x + margin_of_error
confidence_interval = [lower_bound, upper_bound]
 
# 输出置信区间
print("\n置信区间 (95%):")
print(f"  下界: {confidence_interval[0]:.4f}")
print(f"  上界: {confidence_interval[1]:.4f}")
print(f"  表示为区间: [{confidence_interval[0]:.4f}, {confidence_interval[1]:.4f}]")

样本数据 (x): [14.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.1]  
样本标准差 (s): 0.2258  
显著性水平 (alpha): 0.05  
样本大小 (n): 6  
样本均值 (mean of x): 14.9500  
t 分布临界值 (t with alpha/2, n-1): 2.5706  
标准误差 (s / sqrt(n)): 0.0922  
边际误差: 0.2370  
  
置信区间 (95%):  
 下界: 14.7130  
 上界: 15.1870  
 表示为区间: [14.7130, 15.1870]