8.1.1 假设检验问题的提法

定义 (原假设, 备选假设)

假设检验问题一般分为参数假设检验和非参数假设检验两类问题. 一般根据实际问题的需要, 都要提出原假设 $\left(H_0\right)$ 和备选假设 $\left(H_1\right)$, 其中的

• 原假设 是由经验得到的一个事实或者基于经验的某种猜测而设定的,
• 备选假设 是当原假设被拒绝时, 可以接受的其他事实.

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另外, 假设检验问题的最后答案是

• 要么拒绝 $H_0$ (接受 $H_1$ )、
• 要么接受 $H_0$ (拒绝 $H_1$ ),

在参数的假设检验中, 认为总体 $X$ 的分布类型 $F_X\left(\cdot ,\theta \right)$ 是已知的, 而参数取自集合 $\Theta$. 此时,原假设和备选假设都是关于参数的. 比如,设 ${\Theta }_0\subset \Theta$ 和 ${\Theta }_1\subset \Theta$, 且 ${\Theta }_0\cap {\Theta }_1=\varnothing$, 可有假设检验问题:

$$H_0:\theta \in {\Theta }_0,H_1:\theta \in {\Theta }_1.$$

对这一问题作统计推断, 就是

1. 在 $H_0$ 成立的前提下, 从样本 $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 构造一个概率不超过 $\alpha$ 的小概率事件,
2. 基于一次观测的样本观测值是否使得该小概率事件发生, 来决定是否拒绝原假设 $H_0$.

定义 (拒绝域 接收域)

由于一次样本观测值为 ${\mathbf{R}}^n$ 中的一个点, 所以假设检验问题的回答, 最终是将 ${\mathbf{R}}^n$ 分成互不相交的两部分:

• 一部分是使得小概率事件发生的点的集合.
  • 我们称其为该假设检验问题的拒绝域,
• 另一部分是拒绝域的余集, 称其为该假设检验问题的接受域.

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在 例 8.1.1 (单个正态总体情形的假设检验) 中, 拒绝域为

$$\left\{\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)\in {\mathbf{R}}^n:\left|\frac{\left(x_1+x_2+\cdots +x_n\right)/n-{\mu }_0}{\sqrt{\frac{{\sigma }_0^2}{n}}}\right|\ge u_{1-\frac{\alpha }{2}}\right\}$$

对于非参数假设检验问题, 其原假设和备选假设都是关于总体分布的. 例如,

Example

要判断一个 $X$ 是否服从正态分布, 可有

$$H_0:X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right),H_1:X\nsim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right).$$

做检验时, 要先求出均值 $\mu$ 和 ${\sigma }^2$ 这两个参数的最大似然估计.

对于一般总体 $X$,可有

$$H_0:X\sim F_0\left(\theta \right),H_1:X\sim F_0\left(\theta \right),$$

其中

• $F_0\left(\theta \right)$ 为一已知的分布类型,
• $\theta$ 为参数, 取值于某参数集 $\Theta$.

一般在做检验时, 要先对参数作最大似然估计, 才便于构造出相应的统计量.