例 8.1.1 (单个正态总体情形的假设检验)

设总体 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }_0^2\right),{\sigma }_0^2$ 已知. $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 为其样本,试对假设检验问题:

• $H_0$ (原假设): $\mu ={\mu }_0$,
• $H_1$ (备选假设): $\mu \ne {\mu }_0$ 做检验.

解

由于 $\bar{X}$ 是 $\mu$ 的一致最小方差无偏估计, 若原假设 $H_0$ 成立, $\bar{X}$ 应与 ${\mu }_0$ 比较接近. 换言之,

若 $\left|\bar{X}-{\mu }_0\right|$ 较大, 则说明原假设 $H_0$ 不成立.

由于 $\bar{X}\sim N\left({\mu }_0,\frac{{\sigma }_0^2}{n}\right)$, 对于很小的正数 $\alpha$, 可由

$$P\left(\left|\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sqrt{\frac{{\sigma }_0^2}{n}}}\right|\ge u_{1-\frac{\alpha }{2}}\right)=\alpha ,\text{\hspace{1em}(8.1.1)}$$

查标准正态分布表得分位点 $u_{1-\frac{\alpha }{2}}$.

由于 $\alpha$ 很小,也就是说,事件

$$\left\{\omega :\left|\frac{\bar{X}\left(\omega \right)-{\mu }_0}{\sqrt{\frac{{\sigma }_0^2}{n}}}\right|\ge u_{1-\frac{\alpha }{2}}\right\}$$

在一次试验中几乎不会发生. 所以, 若一次试验出现的结果为 $\omega$, 得到样本观测值 $\left(X_1\left(\omega \right),X_2\left(\omega \right),\cdots ,X_n\left(\omega \right)\right)$ 使得

$$\left|\frac{\bar{X}\left(\omega \right)-{\mu }_0}{\sqrt{\frac{{\sigma }_0^2}{n}}}\right|\ge u_{1-\frac{\alpha }{2}},$$

我们应拒绝原假设 $H_0$, 否则接受原假设 $H_0$.