例 8.1.2 (正态均值简单假设检验)

设总体 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }_0^2\right)$, ${\sigma }_0^2$ 已知. $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 为其样本, 试对假设检验问题:

$$H_0:\mu ={\mu }_0,H_1:\mu ={\mu }_1$$

做检验 (其中 ${\mu }_0<{\mu }_1$ ), 并解释该检验的第一类错误的概率 $\alpha$ 与第二类错误的概率 $\beta$ 之间的关系.

解

与 例 8.1.1 (单个正态总体情形的假设检验) 的分析类似, 此检验问题的推断结论仍为当

$$\left|\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sqrt{\frac{{\sigma }_0^2}{n}}}\right|\ge u_{1-\frac{\alpha }{2}}$$

时拒绝原假设 $H_0$.

由于 $\bar{X}\sim N\left({\mu }_0,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)$, 用 $\bar{X}$ 的分布密度函数, 我们将此检验的第一类错误的概率 $\alpha$ 与第二类错误的概率 $\beta$ 标于

图 8.1 假设检验的两类错误示意图

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• 上半部的阴影部分表示当 $H_0$ 为真时,拒绝 $H_0$ 的概率 $\alpha$.
• 下半部的阴影部分表示当备选假设 $H_1$ 为真时,接受 $H_0$ 的概率,即概率 $\beta$.

从图 8.1 容易看出,

• 要使 $\alpha$ 变小, 必然使得 $\beta$ 变大.
• 反之,要使 $\beta$ 变小,必然使得 $\alpha$ 变大.