例 8.2.1 砖块平均抗拉强度的假设检验 (已知方差)

某砖厂生产的砖的抗拉强度 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu ,{1.1}^2\right)$. 今从该产品中随机抽取 6 块砖, 测得其抗拉强度如下 (单位: MPa):

$\begin{array}{llllll}32.56& 29.66& 31.64& 30.00& 31.87& 31.03\end{array}$

试检验这批砖的平均抗拉强度为 32.50 是否成立,取显著性水平 $\alpha =0.05$.

解

依题意,这是一个单个正态总体均值的假设检验问题,其中 ${\sigma }^2={1.1}^2$ 为已知.

第一步: 提出假设.

按题目的要求,应将原假设 $H_0$ 和备选假设 $H_1$ 提为

$$H_0:\mu =32.50,H_1:\mu \ne 32.50.$$

第二步: 选取统计量.

由

表 8.1 单个正态总体均值的假设检验的拒绝域

单个正态总体均值 $\mu$ 的假设检验的拒绝域 (显著性水平为 $\alpha$ )

序号	$H_0$	$H_1$	${\sigma }^2$ 已知	${\sigma }^2$ 未知
I	$\mu ={\mu }_0$	$\mu \ne {\mu }_0$	$\frac{|\bar{x}-{\mu }_0|}{\sigma /\sqrt{n}}\ge u_{1-\frac{\alpha }{2}}$	$\frac{|\bar{x}-{\mu }_0|}{s_n/\sqrt{n-1}}\ge t_{1-\frac{\alpha }{2}}\left(n-1\right)$
II	$\mu ={\mu }_0$	$\mu >{\mu }_0$	$\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}\ge u_{1-\alpha }$	$\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{s_n/\sqrt{n-1}}\ge t_{1-\alpha }\left(n-1\right)$
III	$\mu \le {\mu }_0$	$\mu >{\mu }_0$	同上	同上
IV	$\mu ={\mu }_0$	$\mu <{\mu }_0$	$\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}\le u_{\alpha }$	$\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{s_n/\sqrt{n-1}}\le t_{\alpha }\left(n-1\right)$
V	$\mu \ge {\mu }_0$	$\mu <{\mu }_0$	同上	同上

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的第一行, 选取统计量为

$$U=\frac{\bar{X}-32.50}{1.1/\sqrt{6}}\sim N\left(0,1\right).$$

第三步: 求分位点.

令 $P\left(\left|U\right|\ge u_{0.975}\right)=0.05$, 查正态分布表或用 B 软件计算得 $u_{0.975}=1.96$.

第四步: 计算统计量的观测值.

经计算

$$\bar{x}=\frac{1}{6}\left(32.56+29.66+31.64+30.00+31.87+31.03\right)=31.13,$$

得到

$$U=\frac{\bar{x}-32.50}{1.1/\sqrt{6}}=\frac{31.13-32.50}{1.1/\sqrt{6}}=-3.05.$$

第五步: 作判断.

由于 $\left|U\right|=3.05>u_{0.975}=1.96$, 所以拒绝 $H_0$, 即在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下, 认为这批砖的平均抗拉强度为 $32.50\mathrm{MPa}$ 的假设不成立.

代码

另外,请读者执行如下 $\mathrm{R}$ 程序,看有什么结果.

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x←c(32.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03)

mu<-32.50;sigma<-1.1

alpha<-0.05

	z<-(mean(x)-mu)/(sigma/sqrt(length(x)))

	list(abs.U=abs(z), u.value=qnorm(1-alpha/2))

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