例 8.2.2 测温仪测量井底温度系统偏差的检验 (方差未知)

地质勘探中常用热敏电阻测温仪间接测量地热来勘探井底温度, 设测量值 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$. 重复测量 7 次,测得温度如下 (单位: ${}^{\circ }\mathrm{C}$ ):

$\begin{array}{lllllll}112.0& 113.4& 111.2& 114.5& 112.5& 112.9& 113.6\end{array}$

现用某种精确方法测得温度的真值为 ${\mu }_0=112.6$, 试问用热敏电阻测温仪间接测量的井底温度有无系统偏差? 取显著性水平 $\alpha =0.05$.

解

依题意,这是一个单个正态总体均值的假设检验问题,其中 ${\sigma }^2$ 未知.

第一步: 提出假设.

按题目的要求,应将原假设 $H_0$ 和备选假设 $H_1$ 提为

$$H_0:\mu =112.6,H_1:\mu \ne 112.6.$$

第二步: 选取统计量.

由

表 8.1 单个正态总体均值的假设检验的拒绝域

单个正态总体均值 $\mu$ 的假设检验的拒绝域 (显著性水平为 $\alpha$ )

序号	$H_0$	$H_1$	${\sigma }^2$ 已知	${\sigma }^2$ 未知
I	$\mu ={\mu }_0$	$\mu \ne {\mu }_0$	$\frac{|\bar{x}-{\mu }_0|}{\sigma /\sqrt{n}}\ge u_{1-\frac{\alpha }{2}}$	$\frac{|\bar{x}-{\mu }_0|}{s_n/\sqrt{n-1}}\ge t_{1-\frac{\alpha }{2}}\left(n-1\right)$
II	$\mu ={\mu }_0$	$\mu >{\mu }_0$	$\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}\ge u_{1-\alpha }$	$\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{s_n/\sqrt{n-1}}\ge t_{1-\alpha }\left(n-1\right)$
III	$\mu \le {\mu }_0$	$\mu >{\mu }_0$	同上	同上
IV	$\mu ={\mu }_0$	$\mu <{\mu }_0$	$\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}\le u_{\alpha }$	$\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{s_n/\sqrt{n-1}}\le t_{\alpha }\left(n-1\right)$
V	$\mu \ge {\mu }_0$	$\mu <{\mu }_0$	同上	同上

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的第一行, 选取统计量为

$$T=\frac{\bar{X}-112.6}{S_n/\sqrt{6}}\sim t\left(6\right)$$

第三步: 求分位点.

令 $P\left(\left|T\right|\ge t_{0.975}\left(6\right)\right)=0.05$,查 $t$ 分布表或用 $\mathrm{R}$ 软件计算得 $t_{0.975}\left(6\right)=2.447$.

第四步: 计算统计量的观测值.

经计算

$$\bar{x}=\frac{1}{7}\left(112.0+113.4+111.2+114.5+112.5+112.9+113.6\right)=112.87,$$ $$\begin{array}{rl}{s}_n^2& =\frac{1}{7}[{\left(112.0-112.87\right)}^2+{\left(113.4-112.87\right)}^2+{\left(111.2-112.87\right)}^2+\\ & {\left(114.5-112.87\right)}^2+{\left(112.5-112.87\right)}^2+{\left(112.9-112.87\right)}^2+\\ & {\left(113.6-112.87\right)}^2]={1.092}^2,\end{array}$$ $$T=\frac{\bar{x}-112.6}{s_n/\sqrt{6}}=0.6577.$$

第五步: 作判断.

由于 $\left|T\right|=0.6577<t_{0.975}\left(6\right)=2.447$, 所以不拒绝 $H_0$. 即在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下, 用热敏电阻测温仪间接测量的井底温度没有系统偏差.

代码

另外,请读者执行如下 $\mathrm{R}$ 程序,看有什么结果.

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		x<-c(112.0,113.4,111.2,114.5,112.5,112.9,113.6)

	mu<-112.6

		alpha<-0.05

	t<-(mean(x)-mu)/(sd(x)/sqrt(length(x)))

list(abs.T=abs(t), t.value=qt(1-alpha/2, length(x)-1))

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