题型 2 正态总体 方差 的区间估计

3.7

若在某学校中,

• 随机抽取 25 名同学测量身高数据,
• 假设所测身高近似服从正态分布,
  • 平均高为 $170\mathrm{cm}$,
  • 标准差为 $12\mathrm{cm}$,

试求该班学生身高标准差 $\sigma$ 的 0.95 置信区间.

分析

根据题意分析, 本题属于正态总体 $\mu$ 未知, 求方差 ${\sigma }^2$ 的区间估计, 其置信区间公式为

$$\left(\frac{\left(n-1\right)S^2}{{\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2\left(n-1\right)},\frac{\left(n-1\right)S^2}{{\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2\left(n-1\right)}\right).$$

解

取统计量

$${\chi }^2=\frac{\left(n-1\right)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2\left(n-1\right),$$

根据 $P\left\{{\chi }^2>{\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2\left(n-1\right)\right\}=P\left\{{\chi }^2<{\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2\left(n-1\right)\right\}=\frac{\alpha }{2}$ 经过查 ${\chi }^2$ 分布表,得

• ${\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2\left(n-1\right)={\chi }_{0.975}^2\left(24\right)=12.401$,
• ${\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2\left(n-1\right)={\chi }_{0.025}^2\left(24\right)=39.364,$

因此参数 ${\sigma }^2$ 的置信度为 $1-\alpha =0.95$ 的置信区间为

$$\left(\frac{\left(n-1\right)S^2}{{\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2\left(n-1\right)},\frac{\left(n-1\right)S^2}{{\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2\left(n-1\right)}\right)=\left(87.80,278.69\right),$$

故 $\sigma$ 的 0.95 的置信区间为 $\left(\sqrt{87.80},\sqrt{278.69}\right)\approx \left(9.34,16.69\right)$

3.8

冷抽铜丝的折断力服从正态分布. 从一批铜丝中任取 10 根, 测试折断力, 得数据 (单位:kg) 如下:

$$578,572,570,568,572,570,570,596,584,572$$

求方差 ${\sigma }^2$ 和标准差 $\sigma$ 的 $90\%$ 的置信区间.

解

$$\begin{array}{rl}\bar{X}& =\frac{1}{10}\left(578+572+570+568+572+570+570+596+584+572\right)\\ & =575.2\text{.}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{S}^2& =\frac{1}{10-1}[{\left(578-575.2\right)}^2+{\left(572-575.2\right)}^2+{\left(570-575.2\right)}^2+{\left(568-575.2\right)}^2\\ & +{\left(572-575.2\right)}^2+{\left(570-575.2\right)}^2+{\left(570-575.2\right)}^2+{\left(596-575.2\right)}^2\\ & +{\left(584-575.2\right)}^2+{\left(572-575.2\right)}^2]\\ & =75.73\text{.}\end{array}$$

查 ${\chi }^2$ 分布表得

• ${\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2\left(9\right)={\chi }_{0.05}^2\left(9\right)=16.919$,
• ${\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2\left(9\right)={\chi }_{0.95}^2\left(9\right)=3.325$

故

• $\frac{\left(n-1\right)S^2}{{\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2\left(9\right)}=\frac{9\times 75.73}{16.919}=40.28$,
• $\frac{\left(n-1\right)S^2}{{\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2\left(9\right)}=\frac{9\times 75.73}{3.325}=204.98,$

于是得

• ${\sigma }^2$ 的 $90\%$ 的置信区间为 $\left[40.28,240.98\right]$.
• $\sigma$ 的 $90\%$ 置信区间为 $\left[6.35,14.32\right]$.

3.9

两个正态总体 $N\left({\mu }_1,{\sigma }_1^2\right)\text{、}N\left({\mu }_2,{\sigma }_2^2\right)$ 的参数均未知,

• 分别从两个总体中抽取容量为 25 和 15 的两个独立样本,
• 测得样本方差分别为 6.38,5.15,

求 $\frac{{\sigma }_1^2}{{\sigma }_2^2}$ 的置信区间 $\left(\alpha =0.10\right)$.

解

$n_1=25,S_1^2=6.38,n_2=15,S_2^2=5.15,\alpha =0.10,\frac{\alpha }{2}=0.05$,

查 $F$ 分布表得

$$F_{0.05}\left(24.14\right)=2.35,F_{0.05}\left(14.24\right)=2.13,$$

而 $\frac{S_1^2}{S_2^2}=\frac{6.38}{5.15}\approx 1.24$.

由置信区间公式得 $\frac{{\sigma }_1^2}{{\sigma }_2^2}$ 的 $90\%$ 置信区间为

$$\left(\frac{S_1^2}{S_2^2}{F}_{0.95}\left(14,24\right),\frac{S_1^2}{S_2^2}{F}_{0.05}\left(14,24\right)\right)=\left(0.528,2.641\right).$$

3.10

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是来自分布 $N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$ 的样本, $\mu$ 已知, $\sigma$ 未知. (1) 验证 $\sum _{i=1}^n\frac{{\left(X_i-\mu \right)}^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2\left(n\right)$. 利用这一结果构造 ${\sigma }^2$ 的置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间.

(2) 设 $\mu =6.5$,且有样本值7.5,2.0,12.1,8.8,9.4,7.3,1.9,2.8,7.0,7.3, 试求 $\sigma$ 的置信水平为 0.95 的置信区间.

解

(1)

因 $X_i\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$,故

$$\frac{X_i-\mu }{\sigma }\sim N\left(0,1\right),i=1,2,\cdots ,n.$$

由 $\frac{X_1-\mu }{\sigma },\frac{X_2-\mu }{\sigma },\cdots ,\frac{X_n-\mu }{\sigma }$ 相互独立,得

$$\sum _{i=1}^n{\left(\frac{X_i-\mu }{\sigma }\right)}^2\sim {\chi }^2\left(n\right).$$

于是有

$$P\left\{{\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2\left(n\right)<\sum _{i=1}^n\frac{{\left(X_i-\mu \right)}^2}{{\sigma }^2}<{\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2\left(n\right)\right\}=1-\alpha ,$$

即有

$$P\left\{\frac{\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\mu \right)}^2}{{\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2\left(n\right)}<{\sigma }^2<\frac{\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\mu \right)}^2}{{\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2\left(n\right)}\right\}=1-\alpha .$$

得 ${\sigma }^2$ 的置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间为

$$\left(\frac{\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\mu \right)}^2}{{\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2\left(n\right)},\frac{\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\mu \right)}^2}{{\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2\left(n\right)}\right).$$

(2)

现在 $n=10,\mu =6.5,1-\alpha =0.95,\alpha =0.05$,由样本值经计算得 $\sum _{i=1}^{10}{\left(X_i-\mu \right)}^2=102$. 69,查表知, ${\chi }_{0.025}^2\left(10\right)=20.483,{\chi }_{0.975}^2\left(10\right)=3.247$.

于是 ${\sigma }^2$ 的置信水平为 0.95 的置信区间为 $\left(5.013,31.626\right).\sigma$ 的置信水平为 0.95 的置信区间为 $\left(2.239,5.624\right)$.