题型 1 正态总体参数的假设检验

3.1

设 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是来自正态总体 $N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$ 的简单随机样本, 其中参数 $\mu$ 和 ${\sigma }^2$ 未知, 记

• $\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$,
• $Q^2=\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2,$

则假设 $H_0:\mu =0$ 的 $t$ 检验使用统计量 ___ .

解

因为 ${\sigma }^2$ 未知,故取统计量 $t=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\frac{S}{\sqrt{n}}}$,由 $\mu =0,S^2=\frac{Q^2}{n-1}$,得 $t=\frac{\bar{X}}{Q}\sqrt{n\left(n-1\right)}$.

故应填 $\frac{\bar{X}}{Q}\sqrt{n\left(n-1\right)}$.

3.2

已知总体 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$, 其中 $\mu$ 是未知参数, $X_1,X_2,\cdots ,X_{16}$ 是其样本, $\bar{X}$ 为样本均值, 如果对检验 $H_0:\mu ={\mu }_0$, 取拒绝域 $\left\{\left|\bar{X}-{\mu }_0\right|>k\right\}$,则 $k=$ ___ $\left(\alpha =0.05\right)$

解

$P\left\{\left|\bar{X}-{\mu }_0\right|>k\right\}=0.05$, 则

$$P\left\{\left|\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\right|>k\cdot \frac{\sqrt{n}}{\sigma }\right\}=0.05,$$

即 $k\cdot \frac{4}{\sigma }=u_{0.025}=1.96$,从而 $k=0.49\sigma$.

故应填 0.49 σ.

3.3

设总体 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$, 现对 $\mu$ 进行假设检验, 如在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下接受了 $H_0$ : $\mu ={\mu }_0$, 则在显著性水平 $\alpha =0.01$ 下 ( ).

(A) 接受 $H_0$ (B) 拒绝 $H_0$ (C) 可能接受,可能拒绝 $H_0$ (D) 第一类错误概率变大

解

无论 ${\sigma }^2$ 已知或未知,即无论选取 $U$ 统计量还是 $T$ 统计量,当 $\alpha$ 变小时,拒绝域更小,在原显著性水平下能接受 $H_0$,现在也能接受.

故应选(A).

3.4

设总体 $X\sim N\left(\mu ,8\right),X_1,\cdots ,X_n$ 是其样本, 如果在 $\alpha =0.05$ 水平上检验 $H_0:\mu ={\mu }_0$, $H_1:\mu \ne {\mu }_0$, 其拒绝域为 $\left|\bar{X}-{\mu }_0\right|\ge 1.96$, 则样本容量 $n=$ ___ .

解

当 ${\sigma }^2=8$ 时, 检验 $H_0:\mu ={\mu }_0,H_1:\mu \ne {\mu }_0$, 拒绝域应为 $\left|U\right|\ge u_{\frac{\alpha }{2}}$,

即

$$\left|\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\right|\ge u_{0.025}=1.96.$$

由题意 $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}=1$,故 $n={\sigma }^2=8$.

3.5

设总体 $X\sim N\left({\mu }_1,{\sigma }_1^2\right),Y\sim N\left({\mu }_2,{\sigma }_2^2\right)$, 检验假设

• $H_0:{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$,
• $H_1:{\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$,
• $\alpha =0.10$.

从 $X\text{、}Y$ 分别抽取容量为 $n_1=12,n_2=10$ 的样本, 算得 $S_1^2=118.4,S_2^2=31.93$.

则正确的检验为( ).

(A) 用 $t$ 检验法,拒绝 $H_0$ (B) 用 $t$ 检验法,接受 $H_0$ (C) 用 $F$ 检验法,拒绝 $H_0$ (D) 用 $F$ 检验法,接受 $H_0$

解

${\mu }_1,{\mu }_2$ 未知,检验两个正态总体方差相等,应选 $F$ 检验法.

$$F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F\left(n_1-1,n_2-1\right),$$

因为 $\frac{S_1^2}{S_2^2}=\frac{118.4}{31.93}=3.71,F_{0.05}\left(11,9\right)=3.10$,所以 $f>F_{0.05}\left(11,9\right)$,应拒绝 $H_0$.

故应选(C).

3.6

某批矿砂的 5 个样品中的镍含量,经测定为 (%) 3.24 3.27 3.24 3.26 3.24. 设测定值总体服从正态分布,但参数均未知,问在 $\alpha =0.01$ 下能否接受假设:这批矿砂的镍含量的均值为 3.25.

解

按题意需检验 $H_0:\mu =3.25,H_1:\mu \ne 3.25$.

此题 ${\sigma }^2$ 未知,此检验问题的拒绝域为

$$\left|t\right|=\left|\frac{\bar{x}-3.25}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\right|\ge t_{\frac{\alpha }{2}}\left(n-1\right),$$

这里 $n=5,\alpha =0.01,\frac{\alpha }{2}=0.005$,查表得 $t_{\frac{\alpha }{2}}\left(n-1\right)=4.6041$,计算得 $\bar{x}=3.252,s^2=170\times$ ${10}^{-6},s=0.013,$

$$\left|t\right|=\left|\frac{3.252-3.25}{\frac{0.013}{\sqrt{5}}}\right|=0.343<4.6041,$$

$t$ 不落在拒绝域中,故接受 $H_0$,即认为这批矿砂的镍含量的均值为 3.25.

3.7

如果一矩形的宽度 $w$ 与长度 $l$ 的比 $\frac{w}{l}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{5}-1\right)\approx 0.618$,这样的矩形称为黄金矩形, 这种尺寸的矩形使人们看上去有良好的感觉. 现代的建筑构件 (如窗架), 工艺品 (如图片镜框), 甚至司机的执照, 商业的信用卡等常常都是采用黄金矩形. 下面列出某工艺品厂随机取的 20 个矩形的宽度与长度的比值.

0.693 0.670 0.662 0.672 0.615 0.6900.628

$\begin{array}{llllllllll}0.668& 0.611& 0.606& 0.609& 0.601& 0.553& 0.570& 0.844& 0.576& 0.933\end{array}$

设这一工厂生产矩形的宽度与长度的比值总体服从正态分布,其均值为 $\mu$,方差为 ${\sigma }^2,\mu ,{\sigma }^2$ 均未

知. 试检验假设 (取 $\alpha =0.05$ ) $H_0:\mu =0.618,H_1:\mu \ne 0.618$.

解

$H_0:\mu =0.618,H_1:\mu \ne 0.618$.

此题方差 ${\sigma }^2$ 未知,因此检验问题的拒绝域为

$$\left|t\right|=\left|\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\right|\ge t_{\frac{\alpha }{2}}\left(n-1\right),$$

$n=20,\alpha =0.05,\frac{\alpha }{2}=0.025$,查表得 $t_{\frac{\alpha }{2}}\left(n-1\right)=2.0930$,计算得 $\bar{x}=0.6605,s^2=85.58\times$ ${10}^{-4},s=0.0925,$

$$\left|t\right|=\left|\frac{0.6605-0.618}{\frac{0.0925}{\sqrt{20}}}\right|=2.0548<2.0930,$$

$t$ 不落在拒绝域之内,故接受 $H_0$.

3.8

在 3.7 题中记总体的标准差为 $\sigma$,试检验假设(取 $\alpha =0.05$ )

$$H_0:{\sigma }^2={0.11}^2,H_1:{\sigma }^2\ne {0.11}^2.$$

解

在 3.7 题中, $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right),\mu ,{\sigma }^2$ 均未知,关于 ${\sigma }^2$ 的检验要用 ${\chi }^2$ 一检验法.

检验假设 $H_0:{\sigma }^2={\sigma }_0^2,H_1:{\sigma }^2\ne {\sigma }_0^2$.

$H_0$ 为真时,检验统计量:

$${\chi }^2=\frac{\left(n-1\right)S^2}{{\sigma }_0^2}\sim {\chi }^2\left(n-1\right),$$

拒绝域为:

$${\chi }^2\ge {\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2\left(n-1\right)\text{或}{\chi }^2\le {\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2\left(n-1\right)\text{.}$$

计算: $s^2={0.0925}^2,n=20,{\sigma }_0^2={0.11}^2$,得 ${\chi }^2=13.435$,

查表: $\alpha =0.05\Rightarrow {\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2\left(n-1\right)={\chi }_{0.025}^2\left(19\right)=32.852,{\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2\left(n-1\right)={\chi }_{0.975}^2\left(19\right)=8.907$,

因为 $8.907<13.435<32.852,{\chi }^2$ 落在拒绝域之外,接受 $H_0$.

3.9

某种导线,要求其电阻的标准差不得超过 0.005 (单位: $\Omega$ ). 今在生产的一批导线中取样品 9 根,测得 $s=0.007\left(\Omega \right)$. 设总体为正态分布,参数均未知,问在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下能否认为这批导线的标准差显著地偏大?

解

需检验的假设为 $H_0:\sigma \le 0.005,H_1:\sigma >0.005$.

该检验的拒绝域为

$${\chi }^2=\frac{\left(n-1\right)S^2}{{\sigma }_0^2}\ge {\chi }_{\alpha }^2\left(n-1\right),$$

这里 $\alpha =0.05,n=9$,,查表得 ${\chi }_{\alpha }^2\left(n-1\right)=15.507$,

$${\chi }^2=\frac{8\times {0.007}^2}{{0.005}^2}=15.68>15.507.$$

${\chi }^2$ 落在拒绝域内,故应拒绝 $H_0$. 即认为在水平 $\alpha =0.05$ 下这批导线的标准差显著偏大.

3.10

测定某种溶液中的水份,它的 10 个测定值给出 $s=0.037\%$,设测定值总体为正态分布, ${\sigma }^2$ 为总体方差, ${\sigma }^2$ 未知,试在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下检验假设: $H_0:\sigma \ge 0.04\%,H_1:\sigma <$ 0.04%.

解

$H_0:\sigma \ge 0.0004,H_1:\sigma <0.0004$.

此题 $\mu$ 未知. 故拒绝域为

$${\chi }^2=\frac{\left(n-1\right)S^2}{{\sigma }_0^2}\le {\chi }_{1-\alpha }^2\left(n-1\right),$$

这里 $\alpha =0.05,n=10$,查表 ${\chi }_{1-\alpha }^2\left(9\right)={\chi }_{0.95}^2\left(9\right)=3.325$,计算

$${\chi }^2=\frac{9\times {\left(0.00037\right)}^2}{{\left(0.0004\right)}^2}=7.7006>3.325.$$

${\chi }^2$ 没落在拒绝域内. 故应接受 $H_0$.

3.11

按规定,100g罐头番茄汁中的平均维生素C含量不得少于 $21\mathrm{mg}/\mathrm{g}$. 现从工厂的产品中抽取 17 个罐头, 其 100g 番茄汁中, 测得维生素 C 含量 (mg/g) 记录如下:

$\begin{array}{llllllllllllllll}16& 25& 21& 20& 23& 21& 19& 15& 13& 23& 17& 20& 29& 18& 22& 16\end{array}$ 设维生素含量服从正态分布 $N\left(\mu ,{\sigma }^2\right),\mu ,{\sigma }^2$ 均未知, 问这批罐头是否符合要求 (取显著性水平 $\alpha =0.05)$.

解

本题需检验假设: $H_0:\mu \ge 21,H_1:\mu <21$.

${\sigma }^2$ 未知,因此拒绝域的形式为

$$t=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}<-t_{\alpha }\left(n-1\right).$$

现在 $n=17,\bar{x}=20,s=3.984,t_{0.05}\left(16\right)=1.7459$,

$$t=\frac{20-21}{\frac{3.984}{\sqrt{17}}}=-1.035>-1.7459.$$

$t$ 不落在拒绝域内,故接受 $H_0$,认为这批罐头是符合规定的.

3.12

下表分别给出两个文学家马克・吐温(Mark Twain)的 8 篇小品文以及斯诺特格拉斯 (Snodgrass) 的 10 篇小品中由 3 个字母组成的词的比例

马克・吐温	0.2250.2620.2170.2400.2300.2290.2350.217
斯诺特格拉斯	0.2090.2050.1960.2100.2020.2070.2240.2230.2200.201

设两组数据分别来自正态总体, 且两总体方差相等但参数均未知, 两样本相互独立, 问两个作家的小品文中包含由 3 个字母组成的词的比例是否有显著的差异 (取 $\alpha =0.05$ )?

解

需要检验的假设为 $H_0:{\mu }_1={\mu }_2,H_1:{\mu }_1\ne {\mu }_2$.

这里 ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$ 未知,该检验的拒绝域为

$$\left|t\right|=\left|\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\right|\ge t_{\frac{\alpha }{2}}\left(n_1+n_2-2\right),$$

这里 $n_1=8,n_2=10,\alpha =0.05,\frac{\alpha }{2}=0.025$,查表知 $t_{\frac{\alpha }{2}}\left(n_1+n_2-2\right)=2.1199$.

计算 $\bar{x}=0.232,\bar{y}=0.2097,s_1^2=0.000215,s_2^2=0.000094$,

$$s_w^2=\frac{\left(n_1-1\right)s_1^2+\left(n_2-1\right)s_2^2}{n_1+n_2-2}=145.32\times {10}^{-6},s_w=0.0121,$$

即

$$\left|t\right|=\left|\frac{0.232-0.2097}{0.0121\sqrt{\frac{1}{8}+\frac{1}{10}}}\right|=3.918>2.1199.$$

$t$ 落在拒绝域中,因而拒绝 $H_0$,即有显著差异.

3.13

在 3.12 中分别记两个总体的方差为 ${\sigma }_1^2$ 和 ${\sigma }_2^2$,试检验假设 (取 $\alpha =0.05$ )

$$H_0:{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2,H_1:{\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$$

以说明在 3.12 中我们假设 ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$ 是合理的.

解

$H_0:{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2,H_1:{\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$.

${\mu }_1,{\mu }_2$ 未知. $H_0$ 为真时 $F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F\left(n_1-1,n_2-1\right)$,

拒绝域为

$$F\ge F_{\frac{\alpha }{2}}\left(n_1-1,n_2-1\right)\text{或}F\le F_{1-\frac{\alpha }{2}}\left(n_1-1,n_2-1\right)\text{,}$$

这里 $n_1=8,n_2=10,\alpha =0.05,F_{0.025}\left(7,9\right)=4.20,F_{0.975}\left(7,9\right)=\frac{1}{F_{0.025}\left(9,7\right)}=\frac{1}{4.82}=0.207$,

由 3.12 知 $s_1^2=0.000215,s_2^2=0.000094$,计算得 $F=\frac{S_1^2}{S_2^2}=2.287$.

因为 $0.207<F<4.20$,故应接受 $H_0$.

3.14

在 20 世纪 70 年代后期人们发现, 在酿造啤酒时, 在麦芽干燥过程中形成致癌物质亚硝基二甲胺(NDMA),到了 20 世纪 80 年代初期开发了一种新的麦芽干燥过程. 下面给出分别在新老两种过程中形成 NDMA 含量 (以 10 亿份中的份数计).

老过程	6	4	5	5	6	5	5	6	4	6	7	4
新过程	2	1	2	2	1	0	3	2	1	0	1	3

设两样本分别来自正态总体,两总体方差相等,两样本独立,分别以 ${\mu }_1,{\mu }_2$ 记对应于老、新过程的总体的均值,试检验假设 (取 $\alpha =0.05$ ): $H_0:{\mu }_1-{\mu }_2\le 2,H_1:{\mu }_1-{\mu }_2>2$.

解

$H_0:{\mu }_1-{\mu }_2\le 2,H_1:{\mu }_1-{\mu }_2>2$.

${\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2$ 未知,该检验的拒绝域为

$$t=\frac{\bar{x}-\bar{y}-2}{s_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\ge t_{\alpha }\left(n_1+n_2-2\right),$$

$n_1=12,n_2=12,\alpha =0.05$. 查表知 $t_{\alpha }\left(n_1+n_2-2\right)=1.7171$.

计算得 $\bar{x}=5.25,\bar{y}=1.5$,

$$s_w^2=\frac{\left(n_1-1\right)s_1^2+\left(n_2-1\right)s_2^2}{n_1+n_2-2}=\frac{10.252+11}{22}={\left(0.9828\right)}^2,$$ $$t=\frac{5.25-1.5-2}{0.9828\sqrt{\frac{1}{12}+\frac{1}{12}}}=4.362>1.7171.$$

$t$ 在拒绝域中,故应拒绝 $H_0$.

3.15

有两台机器生产金属部件. 分别在两台机器所生产的部件中各取一容量 $n_1=60$, $n_2=40$ 的样本,测得部件重量 (以 $\mathrm{kg}$ 计) 的样本方差分别为 $s_1^2=15.46,s_2^2=9.66$. 设两样本相互独立. 两总体分别服从 $N\left({\mu }_1,{\sigma }_1^2\right),N\left({\mu }_2,{\sigma }_2^2\right)$ 分布, ${\mu }_i,{\sigma }_i^2\left(i=1,2\right)$ 均未知,试在水平 $\alpha =0.05$ 下检验假设 $H_0:{\sigma }_1^2\le {\sigma }_2^2,H_1:{\sigma }_1^2>{\sigma }_2^2$.

解

检验假设 $H_0:{\sigma }_1^2\le {\sigma }_2^2,H_1:{\sigma }_1^2>{\sigma }_2^2$.

由于两总体均服从正态分布,又 ${\mu }_1,{\sigma }_1^2,{\mu }_2,{\sigma }_2^2$ 未知, $H_0$ 为真时检验统计量

$$F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F\left(n_1-1,n_2-1\right),$$

拒绝域为

$$F\ge F_{\alpha }\left(n_1-1,n_2-1\right),$$

$n_1=60,n_2=40,F_{\alpha }\left(n_1-1,n_2-1\right)=F_{0.05}\left(59,39\right)=1.64$.

计算 $F=\frac{15.46}{9.66}=1.60$.

因为 $F=1.60<1.64$,故应接受 $H_0$,可以认为 ${\sigma }_1^2\le {\sigma }_2^2$.

3. 16

两种小麦从播种到抽穗所需的天数如下:

$x$	101	100	99	99	98	100	98	99	99	99
$y$	100	98	100	99	98	99	98	98	99	100

设两样本依次来自正态总体 $N\left({\mu }_1,{\sigma }_1^2\right),N\left({\mu }_2,{\sigma }_2^2\right),{\mu }_i,{\sigma }_i^2\left(i=1,2\right)$ 均未知,两样本相互独立.

(1)试检验假设 $H_0:{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2,H_1:{\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$ (取 $\alpha =0.05$ )；

(2)若能接受 $H_0$,接着检验假设 $H_0^{\prime }:{\mu }_1={\mu }_2,H_1^{\prime }:{\mu }_1\ne {\mu }_2$ (取 $\alpha =0.05$ ).

解

本题需检验

(1) $H_0:{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2,H_1:{\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2\left(\alpha =0.05\right)$;

(2) $H_0^{\prime }:{\mu }_1={\mu }_2,H_1^{\prime }:{\mu }_1\ne {\mu }_2\left(\alpha =0.05\right)$.

令 $n_1=10,n_2=10,{\bar{x}}_1=99.2,s_1^2=0.84,{\bar{x}}_2=98.9,s_2^2=0.77$.

(1) $\frac{s_1^2}{s_2^2}=1.09$,而 $F_{0.025}\left(9,9\right)=4.03,F_{0.975}\left(9,9\right)=\frac{1}{4.03}$,

$$\frac{1}{4.03}<1.09<4.03.$$

故接受 $H_0$,认为两者方差相等.

(2) $s_w^2=\frac{9\times 0.84+9\times 0.77}{18}=0.805$,

$$\left|t\right|=\frac{99.2-98.9}{\sqrt{0.805}\left(\sqrt{\frac{1}{10}+\frac{1}{10}}\right)}=0.748<t_{0.025}\left(18\right)=2.1009.$$

故接受 $H_0^{\prime }$,认为所需天数相同.

3.17

用一种叫“混乱指标”的尺度去衡量工程师的英语文章的可理解性,对混乱指标的打分越低表示可理解性越高, 分别随机选取 13 篇刊载在工程杂志上的论文, 以及 10 篇未出版的

学术报告, 对它们的打分列于下表:

工程杂志上的论文(数据 I )	1.79	1.75	1.67	1.65	1.87	1. 74	1. 94
	1.62	2.06	1.33	1.96	1.69	1.70
未出版的学术报告(数据 II)	2. 39	2. 51	2. 86	2. 56	2.29	2.49	2.36
	2.58	2.62	2.41

设数据 $\mathrm{I},\mathrm{II}$ 分别来自正态总体 $N\left({\mu }_1,{\sigma }_1^2\right),N\left({\mu }_2,{\sigma }_2^2\right),{\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2$ 均未知,两样本独立.

(1)试检验假设 $H_0:{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2,H_1:{\sigma }_1^2\ne {\sigma }_2^2$ (取 $\alpha =0.1$ )；

(2)若能接受 $H_0$,接着检验假设 $H_0^{\prime }:{\mu }_1={\mu }_2,H_1^{\prime }:{\mu }_1\ne {\mu }_2$ (取 $\alpha =0.1$ ).

解

(1) $n_1=13,n_2=10,s_1^2=0.034,s_2^2=0.0264,\alpha =0.1,F_{0.05}\left(12,9\right)=3.07$,

$$F_{1-0.05}\left(12,9\right)=\frac{1}{F_{0.05}\left(9,12\right)}=\frac{1}{2.80}=0.357,\frac{s_1^2}{s_2^2}=1.288.$$

由于 $0.357<\frac{s_1^2}{s_2^2}<3.07$,故接受 $H_0$,认为两总体方差相等.

(2)由(1)可认为 ${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$,接着来检验 $H_0^{\prime }:{\mu }_1={\mu }_2,H_1^{\prime }:{\mu }_1\ne {\mu }_2$.

经计算 ${\bar{x}}_1=1.752,{\bar{x}}_2=2.507$,

$$s_w^2=\frac{12\times 0.034+9\times 0.0264}{13+10-2}=0.0307,$$ $$\left|t\right|=\left|\frac{1.752-2.507}{\sqrt{0.0307}\left(\sqrt{\frac{1}{13}+\frac{1}{10}}\right)}\right|=10.244.$$

而 $t_{0.05}\left(13+10-2\right)=t_{0.05}\left(21\right)=1.7207$,故拒绝 $H_0^{\prime }$,认为杂志上刊载的论文与未出版的学术报告的可理解性有显著差异.

点评

在采用 $t$ 检验法检验有关两个正态总体均值差的假设时,如方差未知,先要检查一下两总体的方差是否相等. 若在题目中未指明两总体方差相等时,需先用 $F$ 检验法来检验方差,只有当经 $F$ 检验认为两总体方差相等时,才能用 $t$ 检验法来检验有关均值差的假设,如上面 3. 16 3. 17 所示.

3.18

随机地选 8 个人,分别测量了他们在早晨起床时和晚上就寝时的身高(cm),得到以下的数据

序号	1	2	3	4	5	6	7	8
早上 $\left( {x}_{i}\right)$	172	168	180	181	160	163	165	177
晚上 $\left( {y}_{i}\right)$	172	167	177	179	159	161	166	175

设各对数据的差 $D_i=X_i-Y_i\left(i=1,2,\cdots ,8\right)$ 是来自正态总体 $N\left({\mu }_D,{\sigma }_D^2\right)$ 的样本, ${\mu }_D,{\sigma }_D^2$ 均未知. 问是否可以认为早晨的身高比晚上的身高要高 (取 $\alpha =0.05$ )?

解

设总体 $X$ 表示早晨起床时身高, $Y$ 表示晚上就寝时身高, $D=X-Y,D_i=X_i-Y_i$, $D\sim N\left({\mu }_D,{\sigma }_D^2\right),{\sigma }_D^2$ 未知,用 $t-$ 检验法.

检验假设 $H_0:{\mu }_D\le 0,H_1:{\mu }_D>0$. 288

作差 $d_i=x_i-y_i$,得

序号	1	2	3	4	5	6	7	8
$d$	0	1	3	2	1	2	-1	2

$H_0$ 为真时 $t=\frac{\bar{D}-0}{\frac{S_D}{\sqrt{n}}}\sim t\left(n-1\right)$.

拒绝域为 $t\ge t_{\alpha }\left(n-1\right)$,而 $n=8,\alpha =0.05,t_{0.05}\left(7\right)=1.8946$.

计算得 $\bar{d}=1.25$,

$$s^2=\frac{1}{7}\left(\sum _{i=1}^8{d}_i^2-8{\bar{d}}^2\right)=\frac{1}{7}\left(24-12.5\right)=1.643,s=1.282,$$

$t=\frac{1.25}{\frac{1.282}{\sqrt{8}}}=2.758>1.8946.$

$t$ 落在拒绝域中,因而拒绝 $H_0$,故接受 $H_1$,即认为早晨的身高比晚上高.