题型 1 正态总体均值的检验

2.1

已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布 $N\left(4.55,{0.108}^2\right)$, 现在测定了 9 种铁水, 其平均含碳量为 4.61. 若估计方差没有变化, 可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为 4.55 ( $\alpha =$ $0.05)?$

解

根据题意,建立检验假设 $H_0:\mu ={\mu }_0=4.55,H_1:\mu \ne {\mu }_0$.

由于已知 ${\sigma }^2={0.108}^2$, 故在 $H_0$ 成立条件下选取统计量

$$U=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\frac{{\sigma }_0}{\sqrt{n}}}\sim N\left(0,1\right).$$

已知 $\alpha =0.05$, 查表知 $u_{\frac{\alpha }{2}}=1.96$.

由于 $\bar{X}=4.61,n=9,\sigma =0.108$. 故 $U$ 的观测值为 $\left|U\right|=1.67<1.96=u_{\frac{\alpha }{2}}$.

因此接受 $H_0$, 即认为现在生产的铁水平均含碳量仍为 4.55.

2.2

设某次考试的考生成绩服从正态分布, 从中随机地抽取 36 位考生的成绩, 算得

• 平均成绩为 66.5 分,
• 标准差为 15 分.

问在显著性水平 0.05 下, 是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分? 并给出检验过程.

解

设该次考试的考生成绩为 $X$, 则 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$, 且 ${\sigma }^2$ 未知.

根据题意建立假设 $H_0:\mu =70,H_1:\mu \ne 70$, 选取检验统计量

$$T=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\frac{S}{\sqrt{n}}},$$

当 $H_0$ 成立时,有 $T=\frac{\bar{X}-70}{S}\sqrt{36}\sim t\left(35\right)$,

计算 $\bar{X}=66.5,S=15$, 从而 $t=\frac{66.5-70}{15}\sqrt{36}=-1.4$.

查表可得 $t_{0.025}\left(35\right)=2.0301$. 因为 $\left|t\right|=1.4<2.0301$, 所以接受 $H_0$.

即在显著性水平 0.05 下可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分.

2.3

用甲、乙两种方法生产同一种药品, 其成品得率的方差分别为

• ${\sigma }_1^2=0.46$,
• ${\sigma }_2^2=0.37$.

现测得

• 甲方法生产的药品得率的 25 个数据, $\bar{X}=3.81$;
• 乙方法生产的药品得率的 30 个数据, $\bar{Y}$ $=3.56$.

设得率服从正态分布.

问甲、乙两种方法的平均得率是否有显著的差异? $\left(\alpha =0.05\right)$

解

根据题意, 建立检验假设 $H_0:{\mu }_1={\mu }_2,H_1:{\mu }_1\ne {\mu }_2$.

由于方差已知, 故在 $H_0$ 成立时, 选取统计量

$$U=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2}}}\sim N\left(0,1\right).$$

$\alpha =0.05$, 查表得 $u_{0.025}=1.96$.

计算 $\left|u\right|=\left|\frac{3.81-3.56}{\sqrt{\frac{0.46}{25}+\frac{0.37}{30}}}\right|=1.426<1.96$.

因此接受 $H_0$, 即认为两种方法的平均得率没有显著差异.

2.4

某烟厂生产甲、乙两种香烟, 独立地随机抽取容量大小相同的烟叶标本, 测量尼古丁含量的毫克数, 一实验室分别做了 6 次测定

假定尼古丁含量服从正态分布且具有相同的方差,试问在显著性水平 $\alpha =0.05$ 下,这两种香烟的尼古丁含量有无显著差异?

解

提出待检假设 $H_0:{\mu }_1={\mu }_2,H_1:{\mu }_1\ne {\mu }_2$. 由于 ${\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2$ 未知,但相等.

选取统计量,

$$T=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{\frac{\left(n_1-1\right)S_1^2+\left(n_2-1\right)S_2^2}{n_1+n_2-2}}\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}},$$

其中 $n_1=n_2=6$,当 $H_0$ 为真时, $T\sim t\left(6+6-2\right)=t\left(10\right)$;

对 $\alpha =0.05$,拒绝域为 $\left|T\right|\ge t_{\frac{0.05}{2}}\left(10\right)=2.2281$,且 $\bar{X}=25.5,\bar{Y}=25.67,S_1^2=7.5,S_2^2=$ 11.07, 那么

$$\left|T\right|=\left|\frac{25.5-25.67}{\sqrt{\frac{5\times \left(7.5+11.07\right)}{10}}\sqrt{\frac{1}{6}+\frac{1}{6}}}\right|\approx 0.099,$$

因为 $\left|T\right|\approx 0.099<2.2281=t_{0.025}\left(10\right)$,从而接受 $H_0$,即认为两种香烟的尼古丁含量无显著差异.

2.5

要求一种元件使用寿命不得低于 1000 h, 生产者从一批这种元件中随机抽取 25 件, 测量其寿命的平均值为 $950\mathrm{h}$, 已知该种元件寿命服从标准差为 $\sigma =100\mathrm{h}$ 的正态分布, 试在显著水平 $\alpha =0.05$ 下确定这批元件是否合格? 设总体均值为 $\mu$,即需检验假设 $H_0:\mu \ge 1000,H_1:\mu$ $<1000$.

解

$H_0:\mu \ge 1000,H_1:\mu <1000$.

此题中, ${\sigma }^2=10000$ 为已知,因此此检验问题的拒绝域为

$$U=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\le -u_{\alpha }\text{ (单边检验,}\alpha \text{不分半); }$$

计算 $\alpha =0.05,\bar{x}=950,\sigma =100,n=25,u_{0.05}=1.645$,

$$u=\frac{950-1000}{\frac{100}{\sqrt{25}}}=-2.5<-1.645,$$

$u$ 落在拒绝域中,所以拒绝 $H_0$,即认为这批元件不合格.

2. 6

下面列出的是某厂随机选取的 20 只部件的装配时间(分):

$\begin{array}{llllllllll}9.8& 10.4& 10.6& 9.6& 9.7& 9.9& 10.9& 11.1& 9.6& 10.2\end{array}$

$\begin{array}{llllllllll}10.3& 9.6& 9.9& 11.2& 10.6& 9.8& 10.5& 10.1& 10.5& 9.7\end{array}$

设装配时间的总体服从正态分布 $N\left(\mu ,{\sigma }^2\right),\mu ,{\sigma }^2$ 均未知,是否可以认为装配时间的均值显著大于 $10\left(\alpha =0.05\right)$ ?

解

需要检验的假设为 $H_0:\mu \le 10,H_1:\mu >10$.

${\sigma }^2$ 未知,因此,拒绝域的形式为

$$T=\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\frac{S}{\sqrt{n}}}\ge t_{\alpha }\left(n-1\right),$$

现在 $n=20,\alpha =0.05$,查表得 $t_{\alpha }\left(n-1\right)=1.7291$. 算得 $\bar{x}=10.2,s^2=0.26,s=0.51$.

$$t=\frac{10.2-10}{\frac{0.51}{\sqrt{20}}}=1.7537>1.7291.$$

因为 $t$ 落在拒绝域之内,故应拒绝 $H_0$,即认为装配时间的均值显著大于 10 (分).