题型 2 关于两类错误和拒绝域的题目

3.19

设总体 $X\sim N\left(\mu ,2^2\right),X_1,\cdots ,X_{16}$ 是一组样本值, 已知假设 $H_0:\mu =0,H_1:\mu \ne 0$ 在显著性水平 $\alpha$ 下的拒绝域是 $\left|\bar{X}\right|>1.29$, 问此检验的显著性水平 $\alpha$ 的值是多少? 犯第一类错误的概率是多少?

解

${\sigma }^2$ 已知检验 $\mu$,应选统计量 $U=\frac{\bar{X}-\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\sim N\left(0,1\right)$,拒绝域为 $\left|U\right|>u_{\frac{\alpha }{2}}$,

因此 $\left|\frac{\bar{X}-0}{\frac{2}{\sqrt{16}}}\right|>u_{\frac{\alpha }{2}}$,即 $\left|\bar{X}\right|>\frac{u_{\frac{\alpha }{2}}}{2}$,

由题意知 $u_{\frac{\alpha }{2}}=2\times 1.29=2.58$,则 $\Phi \left(2.58\right)=1-\frac{\alpha }{2}=0.995$,故 $\alpha =0.01$.

犯第一类错误的概率即 $\alpha =0.01$.

3.20

假设总体 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }_0^2\right)$, 其中 ${\sigma }_0^2$ 已知, 检验假设 $H_0:\mu ={\mu }_0,H_1:\mu >{\mu }_0$. 如果取 $H_0$ 的拒绝域为 $\left\{\left(x_1,\cdots ,x_n\right):\bar{X}>c\right\}$,其中 $\bar{X}$ 为样本均值. 那么对固定的样本容量 $n$, 犯第一类错误的概率 $\alpha$ ( ).

(A) 随 $c$ 的增大而减小 (B) 随 $c$ 的增大而增大 (C) 随 $c$ 的增大保持不变 (D) 随 $c$ 的增大增减性不定

解

当 $H_0$ 成立时 $X\sim N\left({\mu }_0,{\sigma }_0^2\right),\bar{X}\sim N\left({\mu }_0,\frac{{\sigma }_0^2}{n}\right)$,那么犯第一类错误的概率为

$$\begin{array}{rl}\alpha & =P\{\text{reject true}\}\\ & =P\left\{\bar{X}>c\mid H_0\text{ holds }\right\}\\ & =P\{\bar{X}>c\}\\ & =1-P\{\bar{X}\le c\}\\ & =1-\Phi \left(\frac{\sqrt{n}\left(c-{\mu }_0\right)}{{\sigma }_0}\right),\end{array}$$

固定 $n,{\mu }_0$ 和 ${\sigma }_0,\Phi \left(\frac{\sqrt{n}\left(c-{\mu }_0\right)}{{\sigma }_0}\right)$ 关于 $c$ 递增,从而 $\alpha$ 关于 $c$ 递减.

故选 (A).

3.21

设总体 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right),{\sigma }^2$ 已知, $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 为其样本,对假设检验 $H_0:\mu ={\mu }_0$, $H_1:\mu ={\mu }_1\left({\mu }_1>{\mu }_0\right)$. 已知拒绝域为

$$\left\{\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}>1.64\right\}\left(\alpha =0.05\right),$$

求犯第二类错误的概率 $\beta$ (用 $\Phi \left(x\right)$ 表示).

解

$$\begin{array}{rl}\beta & =P\left\{\text{accept }{H}_0\mid H_1\text{ is true}\right\}\\ & =P\left\{\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\le 1.64|\mu ={\mu }_1\right\}\\ & =P\left\{\frac{\bar{X}-{\mu }_1}{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\le 1.64-\frac{{\mu }_1-{\mu }_0}{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\right\}\\ & =\Phi \left(1.64-\frac{{\mu }_1-{\mu }_0}{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\right).\end{array}$$

3.22

设总体 $X\sim N\left(\mu ,16\right),X_1,X_2,X_3,X_4$ 为其样本,检验假设 $H_0:\mu =5,H_1:\mu \ne 5$, $\alpha =0.05$,则 $\overline{X}$ 的接受域为___ . 若 $\mu =6$,犯第二类错误的概率 $\beta =$ ___ .

解

因为 $U=\frac{\bar{X}-\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\sim N\left(0,1\right)$,所以接受域为 $\left|U\right|<u_{\frac{a}{2}}$,即 $\left|\bar{X}-5\right|<u_{\frac{a}{2}}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}=3.92$,

故 $\bar{X}$ 的接受域为 $\left(1.08,8.92\right)$.

而 $\mu =6$ 相当于 $H_0$ 不真,此时 $\frac{\bar{X}-6}{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\sim N\left(0,1\right)$,所以

$\beta =P\left\{\text{接受}{H}_0\mid H_0\text{不真}\right\}=P\{1.08<\bar{X}<8.92\}=\Phi \left(1.46\right)-\Phi \left(-2.46\right)=0.9209$.

3.23

设需要对某一正态总体的均值进行假设检验

$$H_0:\mu \ge 15,H_1:\mu <15.$$

已知 ${\sigma }^2=2.5$,取 $\alpha =0.05$. 若要求当 $H_1$ 中的 $\mu \le 13$ 时犯第二类错误的概率不超过 $\beta =0.05$, 求所需的样本容量.

解

该检验的接受域为 $\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}>-u_{\alpha }$. 在数学期望为 $\mu$ 条件下,该事件的概率

$$P\left(\mu \right)=P\left\{\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}>-u_{\alpha }\right\}=P\left\{\bar{X}>-u_{\alpha }\frac{\sigma }{\sqrt{n}}+{\mu }_0\right\}$$ $$=P\left\{\frac{\bar{X}-\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}>-u_{\alpha }+\frac{{\mu }_0-\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\right\}\le \beta ,$$

则 $-u_{\alpha }+\frac{{\mu }_0-\mu }{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\ge u_{\beta },\left({\mu }_0-\mu \right)\sqrt{n}\le \left(u_{\beta }+u_{\alpha }\right)\sigma ,\sqrt{n}\ge \frac{u_{\beta }+u_{\alpha }}{{\mu }_0-\mu }\sigma$,

代入计算 $\sqrt{n}\ge \frac{1.645+1.645}{15-13}\sqrt{2.5}$,即 $n\ge 6.765$. 取 $n=7$ 即可.

3.24

电池在货架上滞留的时间不能太长, 下面给出某商店随机选取的 8 只电池的货架滞留时间(以天计):108124124106138163159134. 设数据来自正态总体 $N\left(\mu ,{\sigma }^2\right),\mu ,{\sigma }^2$ 未知.

(1)试检验假设 $H_0:\mu \le 125,H_1:\mu >125$,取 $\alpha =0.05$;

(2)若要求在上述 $H_1$ 中 $\frac{\left(\mu -125\right)}{\sigma }\ge 1.4$ 时,犯第二类错误的概率不超过 $\beta =0.1$,求所需的样本容量.

解

(1) $H_0:\mu \le 125,H_1:\mu >125$.

拒绝域为 $\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}\ge t_{\alpha }\left(n-1\right)$,这里 $\alpha =0.05$,查表知 $t_{\alpha }\left(n-1\right)=1.895$,

算得 $\bar{x}=132,s^2=444.286,s=21.08,t=\frac{132-125}{\frac{21.08}{\sqrt{8}}}=0.939<t_{\alpha }\left(n-1\right)=1.895$,

因此 $t$ 没落在否定域之内,故应接受 $H_0$.

(2)此题中 $\alpha =0.05,\beta =0.1,\frac{\mu -{\mu }_0}{\sigma }=1.4$,仿照# 3.23 可得 $n=7$.

故所需样本容量 $n\ge 7$.

3.25

设总体 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right),x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 是取自总体 $X$ 的简单随机样本, 据此样本检验假设: $H_0:\mu ={\mu }_0,H_1:\mu \ne {\mu }_0$, 则 ___ .

(A) 如果在检验水平 $\alpha =0.05$ 下拒绝 $H_0$, 那么在检验水平 $\alpha =0.01$ 下必拒绝 $H_0$

(B) 如果在检验水平 $\alpha =0.05$ 下拒绝 $H_0$,那么在检验水平 $\alpha =0.01$ 下必接受 $H_0$

(C) 如果在检验水平 $\alpha =0.05$ 下接受 $H_0$,那么在检验水平 $\alpha =0.01$ 下必拒绝 $H_0$

(D) 如果在检验水平 $\alpha =0.05$ 下接受 $H_0$,那么在检验水平 $\alpha =0.01$ 下必接受 $H_0$

解

因为检验水平从 0.05 变为 0.01,导致拒绝域变小,从而接受域变大,在 $\alpha =0.05$ 下接受 $H_0$,那么在 $\alpha =0.01$ 下必接受 $H_0$.

故应选 (D).