4.4.2. 基变换与坐标变换

我们已经知道, ${\mathbb{R}}^n$ 中有不同的基,同一个向量在不同基下的坐标一般是不同的. 下面讨论当基变化时, 向量的坐标是如何变化的.

定义：过渡矩阵

过渡矩阵

设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 和 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 的两组基. 由于 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 是基,每个 ${\beta }_j$ 都可以表示为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 的线性组合. 设

$$\{\begin{array}{c}{\beta }_1=a_{11}{\alpha }_1+a_{21}{\alpha }_2+\cdots +a_{n1}{\alpha }_n,\\ {\beta }_2=a_{12}{\alpha }_1+a_{22}{\alpha }_2+\cdots +a_{n2}{\alpha }_n,\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ {\beta }_n=a_{1n}{\alpha }_1+a_{2n}{\alpha }_2+\cdots +a_{nn}{\alpha }_n.\end{array}\text{\hspace{1em}(4.2)}$$

我们把矩阵

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)$$

称为由基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 到基 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n$ 的 过渡矩阵. 需要注意的是, 过渡矩阵 $\mathbf{A}$ 的第 $i$ 列 $\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 为基向量 ${\beta }_i$ 在基 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 下的坐标. 利用矩阵的乘法, 两组基的关系可形式地表示为

$$\left({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n\right)=\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n\right)\mathbf{A}\text{\hspace{1em}(4.2’)}$$

称为 基变换公式.

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下面讨论同一个向量在不同基下的坐标变换公式.

坐标变换公式

例题 4.3 过渡矩阵的求解