定理 1.4 秩判别齐次方程组的非零解存在性

定理 1.4.

取 $\mathbf{A}={\left(a_{ij}\right)}_{mn}$, $\mathbf{X}={\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)}^{\mathrm{T}}$. 以下命题等价

• 齐次线性方程组 $\mathbf{AX}=0$ 有非零解
• 系数矩阵 $\mathbf{A}$ 的秩 $r\left(\mathbf{A}\right)<n$ .

\begin{proof} 对于齐次线性方程组 $\mathbf{AX}=0$, 显然有 $r\left(\tilde{\mathbf{A}}\right)=r\left(\mathbf{A}\right)$, 故它必有解. 它有非零解当且仅当它有无穷多个解, 由 定理 1.3 秩 分类 解的个数, 当且仅当 $r\left(\mathbf{A}\right)<n$ . \end{proof}