1. 向量的线性表示

在第四章讨论 $n$ 维向量空间 $F^n$ 时,我们定义了线性组合、线性相关、线性无关、向量组等价、极大线性无关组和向量组秩的概念, 以及有关的性质. 这些概念和结果都可以直接推广到抽象的线性空间.

定义 2.1 (线性组合 线性表出)

设 $V$ 是数域 $F$ 上的线性空间, $\alpha ,{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ 是 $V$ 中的 $s+1\left(s\ge 1\right)$ 个向量,若存在一组数 $k_1,k_2,\cdots ,k_s\in F$,使

$$\alpha =k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_s{\alpha }_s$$

成立, 则称 $\alpha$ 是向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ 的线性组合, 或者说 $\alpha$ 可由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots$, ${\alpha }_s$ 线性表示 (线性表出).

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定义 2.2 (向量组 线性表出 等价关系)

若向量组 (I): ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ 和向量组 (II): ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_t$ 是 $V$ 中的两个向量组, 且向量组 (I) 的每个向量都可以由向量组 (II) 中的向量线性表出, 则称向量组 (I) 可以由向量组 (II) 线性表出. 若向量组 (I) 和向量组 (II) 可以互相线性表出, 则称它们等价.

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定义 2.3 (线性无关)

设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ 为线性空间 $V$ 中的向量,若 $F$ 中存在 $s$ 个不全为零的元素 $k_1,k_2,\cdots ,k_s$,使

$$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_s{\alpha }_s=0$$

成立, 则称向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ 线性相关. 否则,称 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ 线性无关.

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这些定义与第四章中的一样, 只不过那里是在 $F^n$ 这个特殊的线性空间中来定义的, 其元素或向量是 $F$ 上的 $n$ 元有序数组, 而这里是在一般的线性空间上来给出定义的, 这里 $V$ 的元素或向量是抽象的,其具体形式没有给出. 同样,在 $F^n$ 中讨论的向量组的性质也可以照搬到一般的线性空间上来,这里列出几个常用的结果:

(1) 单个向量 $\alpha$ 是线性相关当且仅当 $\alpha =0$. 两个以上的向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots$, ${\alpha }_m$ 线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余向量线性表出.

(2) 若向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$ 线性无关,且可以被向量组 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_s$ 线性表出,则 $r\le s$.

由此易得, 两个等价的线性无关向量组含有相同个数的向量.

(3) 若向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$ 线性无关,而向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r,\beta$ 线性相关,则 $\beta$ 可由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$ 线性表出,且表示方法唯一.

我们给出 (3) 的证明. 由向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r,\beta$ 线性相关知,存在不全为零的数 $k_1,k_2,\cdots ,k_r,k\in F$,使得

$$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_r{\alpha }_r+k\beta =0$$

则必有 $k\ne 0$. 这是因为若 $k=0$,则 $k_1,k_2,\cdots ,k_r$ 不全为零,且上式变为 $k_1{\alpha }_1+$ $k_2{\alpha }_2+\cdots +k_r{\alpha }_r=0$,这样 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$ 线性相关,与已知矛盾. 故 $k\ne 0$,从而有

$$\beta =-\frac{k_1}{k}{\alpha }_1-\frac{k_2}{k}{\alpha }_2-\cdots -\frac{k_r}{k}{\alpha }_r$$

即 $\beta$ 可由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$ 线性表出.

若有 $\beta =k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_r{\alpha }_r,\beta =k_1^{\prime }{\alpha }_1+k_2^{\prime }{\alpha }_2+\cdots +k_r^{\prime }{\alpha }_r$. 两式相减得

$$\left(k_1-k_1^{\prime }\right){\alpha }_1+\left(k_2-k_2^{\prime }\right){\alpha }_2+\cdots +\left(k_r-k_r^{\prime }\right){\alpha }_r=0.$$

而 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_r$ 线性无关,故 $k_1=k_1^{\prime },\cdots ,k_r=k_r^{\prime }$,表示方法唯一.