统计量的无偏性

最直观和基本的标准是, 尽管 $T\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 有时大于 $\theta$, 有时小于 $\theta$, 但平均下来, 应与 $\theta$ 无差别. 这就是估计量的无偏性.

定义 7.2.1 ((渐近)无偏估计量)

设

• 总体 $X\sim F_X\left(\cdot ,\theta \right),\theta \in \Theta$,
• $g$ 为 $\theta$ 的函数,
• $T\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 为一统计量.

如果

$$E_{\theta }\left[T\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)\right]=g\left(\theta \right),\text{\hspace{1em}(7.2.1)}$$

则称 $T\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 为 $g\left(\theta \right)$ 的无偏估计量.

如果

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{E}_{\theta }\left[T\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)\right]=g\left(\theta \right),\text{\hspace{1em}(7.2.2)}$$

则称 $T\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 为 $g\left(\theta \right)$ 的渐近无偏估计量.

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定义 7.2.1 中的 $E_{\theta }$ 表示在总体的参数真为 $\theta$ 时所确定的概率分布下求数学期望, 而 $g\left(\theta \right)$ 则是待估计参数一般表示, 即我们

• 不仅求 $\theta$ 本身的估计,

• 还可能估计 $\theta$ 的某个函数.

• 例 7.2.1 (例 7.1.7 续)

• 2.1

• 2.2

• 2.4

• 2.5