矩阵的秩

矩阵的秩

下面引入矩阵中秩的概念.

• 为此, 我们可以像在行列式中一样定义 定义 3.4 k 阶子式。
• 定义矩阵的子式后，我们给出矩阵论中的一个重要概念：矩阵的秩。

定义 3.5.

• 称非零的矩阵 $A$ 的 秩 (rank) 为正整数 $r(A)$， 如果
  • $A$ 有非零的 $r(A)$ 阶子式，
  • 而没有非零的 $r(A)+1$ 阶子式。
• 零矩阵的秩规定为 0
• $A$ 的秩记作 $r(A)$。

Definition

对于 $n$ 阶方阵 $\mathbf{A}$, 若 $r(\mathbf{A})=n$, 则称矩阵 $\mathbf{A}$ 为 满秩的 （或 非奇异的、非退化的), 这时它的行列式不等于 0 ; 反之, 则称其为降秩的 (或奇异的、退化的), 且行列式等于 0.

Example

以 例题 3.1 中的矩阵 $\mathbf{A}$ 为例，

• 它有 60 个 2 阶子式，
• 40 个 3 阶子式
• 5 个 4 阶子式.
• 其中, 2 阶子式

$$\left|\begin{array}{rr}0& 4\\ -1& 9\end{array}\right|=4,$$

• 3 阶子式

$$\left|\begin{array}{rrr}0& 4& -2\\ -1& 9& -5\\ -1& 5& 0\end{array}\right|=12$$

• 两者均不为 0 ，
• 而所有的 4 阶子式都等于 0 。
• 依定义， $r(\mathbf{A})=3$ 。

在以上定义中， $\mathbf{A}$ “没有非零的 $r+1$ 阶子式” 概括了两种情形：

• $r=\min \{m,n\}$ ，因而 $\mathbf{A}$ 没有 $r+1$ 阶子式;
• $\mathbf{A}$ 虽有 $r+1$ 阶子式但全等于 0 。
  • 由行列式按一行展开定理，在后一情形下， $\mathbf{A}$ 若有 $r+2$ 阶或更高阶子式，也必然全为 0 。
• 于是 $r$ 是 $A$ 中不为 0 的子式阶数的最大者。

根据定义, (3.2) 中矩阵的秩就是主对角线上 ” 1 “的个数 $r$.

• 定理 3.3 秩为初等变换不变量
• 性质 3.1
• 性质 3.2

由于任何矩阵都可以经初等变换化为阶梯形矩阵，根据上述性质，我们就可以把矩阵作初等变换化为阶梯形矩阵，而阶梯形矩阵的秩就等于非零行的数目，这样就很容易求得矩阵的秩。

例题 2.3.3