线性方程组的矩阵表示

现在讨论线性方程组. 一般的线性方程组的形状是

$$\{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1,\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2,\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m.\end{array}\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

其中

• $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 为未知数,
• $a_{ij},b_i$ 属于某已知的数域 $F$,
  • $a_{ij}$ 称为系数,
  • 第一个下标 $i$ 表示它在第 $i$ 个方程,
  • 第二个下标 $j$ 表示它是第 $j$ 个未知数 $x_j$ 的系数.
  • $b_i$ 称为常数项.
• 一般说来,未知数的个数 $n$ 与方程的个数 $m$ 不一定相等.

如果 $b_1,b_2,\cdots ,b_m$ 全为 0, 则方程组 ^eq-1-1 称为 齐次线性方程组, 否则称为非齐次线性方程组.

Question

线性方程组理论要回答的问题是:

• 存在性：方程组 (1.1) 有解的条件是什么?
• 唯一性：有解时解有多少?
• 解的结构： 若方程组的解不止一个, 解之间有何关系, 也即解的结构问题.

Definition

所谓方程组 (1.1) 的一个解指的是一个 $n$ 元有序数组 $\left(k_1,k_2,\cdots ,k_n\right)$ ,当 $x_1$ , $x_2,\cdots ,x_n$ 分别用 $k_1,k_2,\cdots ,k_n$ 代入后,(1.1) 中的每个等式都变成恒等式. 方程组 (1.1) 解的全体称为它的 解的集合.

解线性方程组实际上就是求出它的全部解, 即解的集合. 有解的方程组称为 相容的方程组, 否则称为 不相容的方程组.

易知齐次线性方程组总有解, 因为 $\left(0,0,\cdots ,0\right)$ 就是一个解, 称为零解. 所以, 对齐次线性方程组而言, 我们要讨论的是非零解

• 是否存在,
• 有多少个解,
• 解的结构问题.

定义 1.1. 同解方程组

设给定两个线性方程组. 如果第一个方程组的解都是第二个方程组的解, 而第二个方程组的解也都是第一个方程组的解, 则称它们是 同解方程组.

若令

$$\begin{array}{rl}\mathbf{A}& =\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right),\\ \mathbf{X}& =\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right),\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right).\end{array}$$

则方程组 ^eq-1-1 可以改写成矩阵的形式

$$AX=b$$

称 $\mathbf{A}$ 为方程组 ^eq-1-1 的 系数矩阵, 而

$$\tilde{\mathbf{A}}=\left(\mathbf{A},\mathbf{b}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}& b_1\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}& b_2\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}& b_m\end{array}\right)$$

称为方程组 ^eq-1-1 的 增广矩阵.

显然, 增广矩阵唯一决定线性方程组. 这样, 对一般的线性方程组的研究实质上是对其对应的增广矩阵 $\tilde{\mathbf{A}}$ 的研究.