5.1.1 大数定律问题的提法

Question

设有随机变量序列 $X_1,X_2,\cdots$,试问是否存在确定数列 $a_1,a_2,\cdots$,使得在某种收敛意义下, 有

$$\frac{X_1+X_2+\cdots +X_n}{n}-\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\to 0\left(n\to \infty \right)?\text{\hspace{1em}(5.1.1)}$$

弱大数定律

若能在某种条件下, 对任意 $\epsilon >0$ 有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(\omega :\left|\frac{X_1\left(\omega \right)+X_2\left(\omega \right)+\cdots +X_n\left(\omega \right)}{n}-\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\right|\ge \epsilon \right)=0,\text{\hspace{1em}(5.1.2)}$$

则称 $X_1,X_2,\cdots$ 服从弱大数定律.

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强大数定律

若能在某种条件下, 有

$$P\left(\omega :\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{X_1\left(\omega \right)+X_2\left(\omega \right)+\cdots +X_n\left(\omega \right)}{n}-\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\right)=0\right)=1,\text{\hspace{1em}(5.1.3)}$$

则称 $X_1,X_2,\cdots$ 服从强大数定律.

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一般地,设有随机变量序列 $X_1,X_2,\cdots$ 和随机变量 $Y$.

定义 (依概率收敛)

如果对任意 $\epsilon >0$ 有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left(\omega :\left|X_n\left(\omega \right)-Y\left(\omega \right)\right|\ge \epsilon \right)=0,$$

则称 $X_1,X_2,\cdots$ 依概率收敛于 $Y$, 记作 $X_n\stackrel{P}{\to }Y$.

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定义 (以概率 1 收敛)

如果

$$P\left(\omega :\underset{n\to \infty }{\lim }{X}_n\left(\omega \right)=Y\left(\omega \right)\right)=1,$$

则称 $X_1,X_2,\cdots$ 以概率 1 收敛 于 $Y$,记作 $X_n\stackrel{\text{ a.s }}{\to }Y$.

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可以证明,若 $X_n\stackrel{\text{ a.s }}{\to }Y$,则 $X_n\stackrel{P}{\to }Y$. 这就解释了前述大数定律的 “强” 和 “弱” 称谓的缘由.

依概率收敛 vs 以概率1收敛