8.2 正态总体参数的假设检验

与参数的区间估计类似, 由于正态总体的抽样分布定理及其推论

常用分布的应用

单个正态分布

设总体 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$, $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 为其样本, 则

Transclude of 推论-6.3.1-(正态分布样本的均值与方差)#eq-6-3-12

Transclude of 推论-6.3.1-(正态分布样本的均值与方差)#eq-6-3-13

Transclude of 推论-6.3.2-(标准化的样本均值服从-t-分布)#eq-3-14

两个正态分布

Transclude of 推论-6.3.3-(两个正态总体方差比的F分布性质)#list

Transclude of 推论-6.3.3-(两个正态总体方差比的F分布性质)#eq-6-3-15

Transclude of 推论-6.3.4-(两正态总体均值差的t分布检验统计量)#eq-6-3-16

Link to original

我们可以得到有关统计量的精确分布. 从而可以通过查表或计算得到分位数, 给出较为准确的拒绝域. 而对非正态总体参数的假设检验问题, 只能利用近似分布给出拒绝域.

同时, 我们会看到, 这里对于单个正态总体、两个独立正态总体的有关参数的假设检验问题, 与参数的区间估计问题是相对应的, 而且对应的统计量 (或样本函数) 和分位数都是相同的.

回顾之前的例子

我们通过回顾 7.3.1 节的区间估计和 例 8.1.1 (单个正态总体情形的假设检验) 来说明区间估计与假设检验的这种联系.

7.3.1. 节

在 7.3.1 单个正态总体参数的区间估计 中, $\mu$ 是未知的, 我们通过样本函数

$$\frac{\bar{X}-\mu }{\sqrt{\frac{{\sigma }_0^2}{n}}}\sim N\left(0,1\right)$$

由 (7.3.3) 查表或用 $\mathrm{R}$ 软件计算得到分位数 $u_{1-\frac{\alpha }{2}}$, 进而由等式变形得到 $\mu$ 的区间估计.

例 8.1.1.

而在 例 8.1.1 (单个正态总体情形的假设检验) 中, 在假设 $H_0$ 下, 参数 ${\mu }_0$ 是已知的, 从而统计量

$$\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sqrt{\frac{{\sigma }_0^2}{n}}}\sim N\left(0,1\right)$$

进而由 (8.1.1) 查表也得到分位数 $u_{1-\frac{\alpha }{2}}$, 这是因为 (7.3.3) 和 (8.1.1) 是同一个式子, 这也是我们在区间估计时置信度用 $\left(1-\alpha \right)$ 来记的理由.

比较期望的假设检验

设

• 总体 $X\sim N\left(\mu ,{\sigma }_0^2\right),{\sigma }_0^2$ 已知.
• $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 为其样本,

我们讨论如何对假设检验问题:

$$H_0:\mu \le {\mu }_0,H_1:\mu >{\mu }_0$$

做检验. 我们知道,当真参数为 $\mu$ 时, $\bar{X}\sim N\left(\mu ,\frac{{\sigma }_0^2}{n}\right)$. 但在 $H_0$ 下, $\mu$ 的具体取值未确定,从而无法求得样本函数 $\frac{\bar{X}-\mu }{\sqrt{\frac{{\sigma }_0^2}{n}}}$ 的值. 另一方面, 我们能算出统计量 $\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sqrt{\frac{{\sigma }_0^2}{n}}}$ 的值, 却无法确定该统计量的分布.

为克服这一困难,我们注意到当 $H_0$ 成立时,有

$$\frac{\bar{X}-\mu }{\sqrt{\frac{{\sigma }_0^2}{n}}}\ge \frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sqrt{\frac{{\sigma }_0^2}{n}}}$$

从而

$$\alpha =P\left(\frac{\bar{X}-\mu }{\sqrt{\frac{{\sigma }_0^2}{n}}}\ge u_{1-\alpha }\right)\ge P\left(\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sqrt{\frac{{\sigma }_0^2}{n}}}\ge u_{1-\alpha }\right).$$

所以, 当

$$\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{\sqrt{\frac{{\sigma }_0^2}{n}}}\ge u_{1-\alpha }\text{\hspace{1em}(8.2.1)}$$

时拒绝 $H_0$, 则犯第一类错误的概率不超过 $\alpha$.

直观解释

对 (8.2.1) 所示的拒绝域, 我们还可以给出直观解释. 因为原假设 $H_0$ 为 $\mu \le {\mu }_0$, 而 $\bar{X}$ 是 $\mu$ 的一致最小方差无偏估计, 若原假设 $H_0$ 成立, 它应与 $\mu$ 较为接近, 也就是小于或等于 ${\mu }_0$, 而不能使 $\bar{X}-{\mu }_0$ 很大. 所以当 $\bar{X}-{\mu }_0$ 较大时, 应该拒绝 $H_0$. 至于所谓的 “较大” 则是由分位数 $u_{1-\alpha }$ 来界定的.

推广及应用

受 例 8.1.1 (单个正态总体情形的假设检验) 和以上讨论的启发, 以及参数的区间估计与参数的假设检验中小概率事件构造方法的联系, 我们容易得到后面的表 8.1 一 表 8.4, 有关样本均值与样本方差的记号参见

表 7.1 (一个总体)

总体数目	待估计参数	用到的样本函数及其分布	区间估计
一个总体	$\mu ({\sigma }^2={\sigma }_0^2\text{已知})$	$\frac{\bar{X}-\mu }{\sqrt{{\sigma }_0^2/n}}\sim N(0,1)$	$\left[\bar{X}\pm u_{1-\alpha /2}\sqrt{\frac{{\sigma }_0^2}{n}}\right]$
$X\sim N\left(\mu ,{\sigma }^2\right)$	$\mu ({\sigma }^2\text{未知})$	$\frac{\bar{X}-\mu }{S_n/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$	$\left[\bar{X}\pm t_{1-\alpha /2}(n-1)\frac{S_n}{\sqrt{n}}\right]$
$\bar{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$	${\sigma }^2(\mu ={\mu }_0\text{已知})$	${\sum }_{i=1}^n\frac{(X_i-{\mu }_0{)}^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n)$	$\left[\frac{\sum (X_i-{\mu }_0{)}^2}{{\chi }_{1-\alpha /2}^2(n)},\frac{\sum (X_i-{\mu }_0{)}^2}{{\chi }_{\alpha /2}^2(n)}\right]$
$S_n^2=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$	${\sigma }^2(\mu \text{未知})$	$\frac{n{S}_n^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$	$\left[\frac{n{S}_n^2}{{\chi }_{1-\alpha /2}^2(n-1)},\frac{n{S}_n^2}{{\chi }_{\alpha /2}^2(n-1)}\right]$

Link to original

并约定用统计量记号的小写表示该统计量在代入样本观测值后的取值.

• 单个正态总体均值的假设检验的拒绝域
• 单个正态总体方差的假设检验的拒绝域
• 两个独立正态总体均值差的假设检验的拒绝域
• 两个正态总体方差的假设检验的拒绝域